如何通过归纳证明这两种算法中的第二种更快？

Question

我有两种算法。

A. Solves problem in 2^n seconds.

B. Solves problem in n^2 + 1,000,000 seconds.

我如何归纳证明 B比A快。

我被告知2 ^ n＆gt;对于n> 2，2n + 1可能对此问题有用。我一直在低头，无法解决这个问题。感谢。

“n”相当于程序的大小。

编辑：对于所有n＆gt; 19。

解决方案：

前提：n ^ 2 + 1,000,000＆lt; 2 ^ N

基础：
n = 20
1000400＆lt; 1048576是的

诱导：

(n+1)^2 + 1000000 > 2^(n+1)
n^2 +2n +1 +1000000 > 2^(n+1)
Apply 2^n > 2n + 1
n^2 + 1000000 > 2^(n+1)

最后一行暗示B总是大于A.

Answer 1

只有当n>时，

B才会更快。 19.9321。如果您不需要实际工作，那么here就是我得到答案的地方。

对于任何小于19.9321的数字，则A会更快。

Answer 2

正如你所说，基本案例已被证实。 即k^2<2^k for k>=5

对于归纳，让我们假设

k^2<2^k

我们需要证明

(k+1)^2<2^(k+1)

(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 < 2^k + 2k + 1

我们知道(k-1)^2>=0.因此k^2>=2k-1

2^k + 2k + 1 = 2^k + 2k -1 + 2 <= 2^k + k^2 + 2 < 2^k + 2^k +2= 2^(k+1) + 2

唉，我觉得我几乎就在那里。有什么帮助吗？

Answer 3

Python作为计算器：

>>> n = 20
>>>
>>> 2**n
1048576
>>> n**2 + 1000000
1000400
>>>

Answer 4

不知道使用归纳法，但我认为这可能会有所帮助： 注意，首先，对数是单调递增函数。 所以，   log（a）＆gt; log（b）iff a＆gt; b（i）

注意log（n ^ 2）＆gt; log（n ^ 2 + 1 000 000）（ii）

另外，log（n ^ 2）= 2log（n）

显然，nlog2＆gt; 2登录大n， 所以，

     log(2^n) > log(n^2) from (i)

所以，           log（2 ^ n）＆gt; log（n ^ 2）＆gt; log（n ^ 2 + 1 000 000）来自（ii）

因此，

      log(2^n) >  log(n^2 + 1 000 000) 

再次来自（i），

  2^n > n^2 + 1 000 000

你觉得怎么样？