Question

一个小组扩展了幺半群的概念以允许反转。这允许：

gremove :: (Group a) => a -> a -> a
gremove x y = x `mappend` (invert y)

但是自然数这样的结构怎么样呢？我在考虑：

class (Monoid a) => MRemove a where
    mremove :: a -> a -> a

有法律：

x `mremove` x = mempty
x `mremove` mempty = x
(x `mappend` y) `mremove` y = x

另外：

class (MRemove a) => Group a where
    invert :: a -> a
    invert x = mempty `mremove` x

-- | For defining MRemove in terms of Group
defaultMRemove :: (Group a) => a -> a -> a
defaultMRemove x y = x `mappend` (invert y)

所以，我的问题是：什么是MRemove？

Answer 1

我能想到的最接近的共同结构是一个光标，但它并没有以明显的方式真正适用于自然。想想您可以对时间值执行的操作：

“减去”两次，产生一段时间（不同的类型）
添加一段时间到另一个时间
添加或减去时间间隔以获得另一个间隔

很少有关于时间值对的其他操作是有意义的。你不能在代数中添加时间或乘以它们或我们习惯的任何东西。另一方面，区间类型更灵活，支持加法，减法，反演等。因此，可以在Haskell中将一个游标定义为：

class Group (Diff a) => Torsor a where
  type Diff a
  subtract : a -> a -> Diff a
  add      : a -> Diff a -> a

无论如何，这是尝试回答你的直接问题（你可以在John Baez的优秀page on them找到更多信息），尽管它不包括你的自然范例。

据我所知，接近回答你问题的唯一另一件事是Coq's (semi)ring solver tactic中代码重用的解决方案。他们引入了一个“几乎环”的概念，其公理类似于你描述的公理，允许他们将大部分代码重用于自然以及完整的环。不过，我认为这个想法并不广泛。

Answer 2

你要找的名字是取消monoid ，但严格来说，取消半群足以捕捉减法的概念。大约一年前我对同一个问题感到疑惑，我通过挖掘数学术语找到了答案。查看incremental-parser包中的CancellativeMonoid类。我目前正在准备一个新的软件包，它只包含monoid子类和一些实例，我希望尽快发布它。

Answer 3

有人提出了类似的问题here。给出的答案是commutative monoid with monus。

Answer 4

编辑：这个答案错了。请参阅下面的评论。如果有趣的话，我会保留答案。

看看subtraction semigroups。它是一个半群，有一个减法运算符，遵守这些定律：

segmentValueChanged

可悲的是，我找不到讨论减法幺半群的资源，但我认为它需要遵守以下附加法律：

x - (y - x) = x
x - (x - y) = y - (y - x)
(x - y) - z = (x - z) - y

x <> (y - z) = (x <> y) - (x <> z)
(y - z) <> x = (y <> x) - (z <> x)

什么是“减法”但没有倒数的结构？

4 个答案: