减去排序数据

Question

我有一个排序数组X [k]。 现在我想找到

我试过这个

    int ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=k;j++)
        {
            ans+=abs(X[i]-X[j]);
        }
    }

我使用上面的解决方案得到了正确的答案，但是没有优化，在某些情况下超出了时间限制。 是否有任何算法以最小的复杂性实现这一点？

Answer 1

我们需要计算：Sigma[i] Sigma[j>i] abs(Xi-Xj)。 （指数i，j假设在1到k之间）。

因为数组是排序的，所以对于j> i，Xj> = Xi。这允许你摆脱abs，以便你有：

Sigma[i] Sigma[j>i] (Xj - Xi)

这可以分为两个总和：

Sigma[i] Sigma[j>i] Xj  -  Sigma[i] Sigma[j>i] Xi

对于特定的j，Xj出现在第一笔金额中的次数是多少？ X2出现一次（仅适用于i = 1且j = 2），X3出现两次（i = 1，j = 3且i = 2，j = 3）等。通常，Xj出现{{1 }}，所以它为总和贡献j-1（假设基于1的索引）。

以同样的方式，(j-1)Xj在第二笔金额中显示Xi次，因此会向总数提供(k-i)。

这给出了结果：(k-i)Xi。这可以简化为：

Sigma[j](j-1)Xj - Sigma[i](k-i)Xi

这是用O（n）计算的，而不是O（n ^ 2）的平凡算法。

Answer 2

假设此处sorted表示

  

对于任何1≤i≤j≤N，有X _i ≤X _j 。

并将您的计算目标表示为F

  

令F（X _1..N ）=Σ_{1≤i<1。 j≤N} | X _i - X _j |

然后我们

  

F（X _1..N ）
  = F（X _2..N ）+Σ_1≤i≤N | X _i - X ₁ |
  = F（X _3..N ）+Σ_2≤i≤N | X _i - X ₂ | +Σ_1≤i≤N | X _i - X ₁ |
  = F（X _4..N ）+ ...

注意

  

Σ_k≤i≤N | X _i - X _k |
  =（N - k）×（X _{k + 1} - X _k ）+Σ _{k +1≤i≤N} | X _i - X _{k + 1} |

所以我们有以下迭代来计算总和：

/* 
 * assuming here the data type int is suitable for holding the result
 * N is the array length, X is the sorted array
 */
int sorted_sub_sum(int N, const int *X)
{
    int ret = 0;
    int tmp_sum = 0;
    int i;
    for (i = 0; i < N; i++)
        tmp_sum += X[i] - X[0];
    for (i = 0; i < N - 1; i++)
    {
        ret += tmp_sum;
        tmp_sum -= (N - i - 1) * (X[i + 1] - X[i]);
    }
    return ret;
}

我对这段代码做了一些简单的测试（比如数组{1,2,4,9}和{1,2,4,9,17}）。如果您发现任何错误，请告诉我。

已编辑：我没有仔细阅读OP的定义，在我的回答N中表示数组长度与原始问题中的k一样。很抱歉给您带来不便。

Answer 3

您可以通过O(n)时间非常简单的方式执行此操作，并且如其他答案中所述，abs函数是多余的：

int ans = 0;

for (int i = 0; i < X.lengh; i++)
    ans += ((X.length - i) * (i)) * (X[i] - X[i-1]);

这个方法基于X[i] - X[i-2] = 2(X[i] - X[i-1]) - (X[i-1] - X[i-2])的事实，这允许你打破每个计算并计算数组中两个相邻数字相减的总次数。

Answer 4

我们可以摆脱abs（阵列被排序）然后在结果中x_1出现（k-1）次为负，X_2出现1次正面而k-2次负面意味着我们完全计算它k- 3次负数和.... x_（k-1）出现k-3次正数，x_k出现k-1次正数，因此我们得到以下简化求和：

int coef = 1-k;
int sum = 0;
for(int i=0;i<k;i++)
{
    sum += coef * x[i];
    coef += 2;
}

在代码中，我认为数组是基于零的索引，x [0]等于我的描述中的x_1。