找到最小距离

Question

我需要在给定的圆（或曲线）上找到一个或多个点，使d0 + d1最小化？曲线的半径和中心分别为（0,0）和'r'，点A和B的坐标是已知的。假设A =（x1，y1）并且B =（x1，-y1）并且r> sqrt（x1 ^ 2 + y1 ^ 2）。 C是圆的未知点，应该最小化长度d0 + d1 d0 - 圆上A到C之间的距离 d1-圆圈上B到C之间的距离

C点沿圆圈移动。我需要在给定的圆（或曲线）上找到一个或多个点，使d0 + d1最小化？

Answer 1

如果AB线与圆相交，那么C就是那个交点（请注意，可以有两个交点，两者都给出相等的距离d0+d1！）。

如果AB不与圆相交，则C是圆上与最靠近圆心的AB线上的虚线相交的点。

网上有很多关于如何在最接近另一个点的线上找到点的文章，以及如何找到两条线之间的交点，这将解决第二种情况。对于第一种情况，你可以google“line circle intersection”

Answer 2

一般情况非常复杂，但特殊情况

  

A=(x1,y1)以及B=(x1,-y1)和r > sqrt(x1^2+y1^2)

以圆为中心的原点具有足够的对称性，使得解决方案至少在某些情况下是可访问的。我假设A ≠ B，（相当于y1 ≠ 0），否则问题对于一个圆圈来说是微不足道的。

让dist(P,Q)为点P和Q之间的欧几里德距离。连接A和B的（已关闭）线段是点P的基因座

dist(P,A) + dist(P,B) = dist(A,B)

对于D > dist(A,B)，带有

的点的轨迹

f(P) = dist(P,A) + dist(P,B) = D

是一个椭圆E(D)，其焦点为A和B。让P成为圆圈上的一个点D = f(P)。

• 如果圆的切线和点E(D)中的椭圆P不一致，P既不是局部最小值也不是局部最大值{{1}限制在圈子里。
• 如果切线重合，并且圆的曲率大于f中E(D)的曲率，则P是P的孤立局部最大值到了圈子。
• 如果切线重合，并且圆的曲率小于f中E(D)的曲率，则P是P的孤立局部最小值到了圈子。
• 如果切线重合且圆的曲率等于f中E(D)的曲率，则
  • P是P的{​​{1}}被隔离的本地最低点f {/ 1}}，
  • dist(P,A) = dist(P,B)既不是本地最大值，也不是P限制在圆圈内的本地最小值。

首先，如果f，很容易看到（如果它不是几何上明显的）圆圈上最小化x1 = 0的点是x坐标f的点，即0和P1 = (0,r)。 [如果P2 = (0,-r)，那甚至会成真。]

现在，假设r² ≤ x1² + y1²，不失一般性x1 ≠ 0。然后很明显，最小化x1 > 0的圆圈上的点P = (x,y)必须具有f。根据情况的对称性，点x > x1必须是局部最小值或局部最大值R = (r,0)限制在圆圈内。

计算f附近f的行为时，发现R是当地最小值，当且仅当

R

由于r ≥ (x1² + y1²) / x1 是R曲率最小的点（以及E(f(R))到R中的切线且圆圈重合），因此E(f(R))为R全球最低限度。

如果r < (x1² + y1²) / x1，则R是限制在该圈子中的本地最大值f。然后f在圆上有两个全局最小值，具有相同的x坐标。不幸的是，我没有一个很好的公式来计算它们，所以我不能提供比迭代搜索更好的方法。