Question

我们得到一个整数N，我们需要计算小于N的数字排列总数。我们也给出了N-1个约束。 e.g：

如果N=4则计算0,1,2,3给出的排列：

0>1
0>2
0>3

我考虑制作一个图表，然后计算同一级别的数字排列的总数，并将其乘以其他级别的排列。例如：

对于上面的例子：

             0
           / |  \
          /  |   \
         1   2    3 ------> 3!=6 So total no of permutations are 6.

但我很难在C++中实施它。此外，这个问题在Facebook黑客杯中被问到，竞争已经结束了。我见过其他人的代码，发现他们是使用DFS完成的。有什么帮助吗？

Answer 1

最简单的方法是使用标准排列生成器并过滤掉违反条件的每个排列。这显然是非常低效的，并且对于较大的N值是不可计算的。这样做是一种“诱杀”选项，这些选项让不太聪明的参赛者能够完成这个问题。

熟练的方法需要深入了解计算组合和排列的方法。为了说明方法，我将使用一个例子。输入：

我们首先通过将依赖条件组合成单个条件来简化这一过程，如下所示：

   2 < 4  
   0 < 3 < 6

从最长条件开始，并确定间隙的组合计数（这是关键洞察力）。例如，一些组合如下：

   XXXX036  
   XXX0X36  
   XXX03X6  
   XXX036X  
   XX0XX36  
   etc.

现在，您可以看到有4个差距：？ 0？ 3？ 6？我们需要在这四个空白中计算X的可能分区。这样的分区数是（7选3）= 35（你明白为什么？）。现在，我们接下来乘以下一个条件的组合，即2＆lt; 4剩余的空白点（Xs）。我们可以相乘，因为这个条件完全独立于0 <3 <6条件。这个组合计数是（4选2）= 6.最终条件有2个值= 2的2个值！ = 2.因此，答案是35 x 6 x 2 = 420。

现在，让它变得更复杂一些。添加条件：

   1 < 6

这改变计算的方式是在036之前必须按此顺序出现。但是，现在，我们有三种可能的安排：

   1036  
   0136  
   0316

因此，现在总计数（7选4）x 3 x（3选2）= 35 x 3 x 3 = 315.

因此，回顾一下，程序是将问题隔离到独立的条件中。对于每个独立条件，您计算分区的组合，然后将它们相乘。

我已经手动完成了这个示例，但您可以编写相同的程序。

在给定N-1个约束的情况下，计算小于整数N的数字的可能排列数

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