Question

假设我们希望跟踪一组间隔中的最大重叠点 - 数据库中具有最大间隔数的点与其重叠。

一个。表明总会有一个最大重叠点，这是一个段的端点。

湾设计一个有效支持INTERVAL-INSERT，INTERVAL-DELETE和FIND-POM操作的数据结构，它返回一个最大重叠点。（提示：保留所有端点的红黑树。将值+1与每个左端点相关联，并将值-1与每个右端点相关联。使用一些额外信息扩充树的每个节点以维护最大重叠点。）

这个问题出现在算法简介一书中。但我不知道如何解决第二个问题。如果一个更大的头脑有一个优雅的解决方案，请与我分享你的想法！感谢。

Answer 1

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保留所有端点的RB树。我们逐个插入端点作为从左到右扫描的扫描线。对于每个左端点e，将值p [e] = +1相关联（将重叠增加1）。每个右端点e关联一个值p [e] = -1（将重叠减少1）。当多个端点具有相同的值时，在插入具有该值的任何右端点之前，插入具有该值的所有左端点。

这是一些直觉。设e1，e2，.... 。。，en是与我们的间隔对应的已排序的端点序列。令s（i，j）表示对于1≤i≤j≤n的和p [ei] + p [ei + 1] +···+ p [ej]。我们希望找到一个最大化s（1，i）。每个节点x存储三个新属性。我们存储v [x] = s（l [x]，r [x]），即x子树中所有节点的值之和。我们还存储m [x]，即由任意i得到的表达式s（l [x]，i）得到的最大值。我们将o [x]存储为m [x]达到其最大值的i的值。对于哨兵，我们定义v [nil [T]] = m [nil [T]] = 0。

我们可以自下而上的方式计算这些属性，以满足定理14.1的要求：

v[x] = v[left[x]] + p[x] + v[right[x]] ,
m[x] = max{
m[left[x]] (max is in x’s left subtree),
v[left[x]] + p[x] (max is at x),
v[left[x]] + p[x] + m[right[x]] (max is in x’s right subtree). }

一旦我们理解了如何计算m [x]，就可以直接从x及其两个孩子的信息中计算o [x]。

FIND-POM：返回端点由o [root [T]]表示的区间。由于我们如何定义新属性，定理14.1表示每个操作都在O（lg n）时间内运行。实际上，FIND-POM只需要O（1）时间。

最大重叠点

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