部分填充多边形网格的算法

Question

概述：
我有一个简单的塑料沙箱，由3D多边形网格代表。我需要能够在将特定量的水倒入沙箱后确定水位。

• 浇注时水从上方均匀分布
• 没有流体模拟，水很慢地倾倒
• 需要快速

问题：
我可以使用哪种技术/算法来解决这个问题？

我不是在寻找可以做到这一点的程序或类似程序，只是算法 - 我会做实现。

Answer 1

只是一个想法：

首先计算所有马鞍点。像离散莫尔斯理论或拓扑持久性这样的工具可能在这里很有用，但我对它们知之甚少。接下来，从最低点开始迭代所有鞍点，并计算水开始越过该点的时间点。这是两个相邻盆地的较浅（就体积与表面积而言）达到与该鞍点的高度相匹配的水平的时间。从那时起，浇注到该表面上的水将流到另一个盆地并且有助于其水位，直到两个盆地达到相同的水平。之后，它们将被视为一个单一的盆地。在此过程中，您可能需要更正其他鞍点的时间，因为与盆地相关的区域会发生变化。您按照增加时间的顺序进行迭代，而不是增加高度（例如，使用具有减小键操作的堆）。一旦最后一对盆地的高度相等，你就完成了;之后只剩下一个盆。

总的来说，这给你一系列“有趣”的时间，事情从根本上改变了。在这些之间，问题将更加局部，因为您只需要考虑单个盆地的形状来计算其水位。在这个本地问题中，您知道该盆地中包含的水量，因此您可以例如使用二分法找到合适的水平。相邻的“有趣”时间可能为你的二分法提供有用的终点。

要计算三角形多面体的volume，您可以使用shoelace formula的3D版本：对于每个三角形，您可以获取其三个顶点并计算其行列式。求它们除以6，你就得到了封闭空间的体积。确保始终如一地定位所有三角形，即从内部看到的全部或从外部看到的所有三角形。选择决定整体标志，试试看哪一个是哪个。

请注意，您的问题可能需要改进：当水池中的水位达到完全相同的高度时的两个鞍点时，水流在哪里？我猜，如果没有流体模拟，这个定义不明确。你可以说它应该在所有相邻的盆地之间平均分配。你可以说这种情况不太可能发生在真实数据中，因此任意选择一个邻居，这意味着这个鞍点的高度比其他鞍点高得多。或者您可以提出许多其他解决方案。如果您对此案感兴趣，那么您可能需要澄清您的期望。

Answer 2

想到一个简单的解决方案： 二元搜索通过不同高度的水，计算所含水量。 即 首先估算沙箱深度D的水高度。 请注意，由于砂是多孔的，最大体积将是用水填充到边缘的盒子; 在我们假想的后院里，任何更多的水都会砰砰地回到草丛中。 另请注意，这意味着您无需担心鞍点或解决方案中的多个水位; 我们再次假设这里有规则的多孔沙，而不是用岩石做成的山脉。 计算高度D所含的水量。 如果它在您的近似阈值内，则退出。 否则，请使用不同的高度调整估计值，然后重复。

请注意，对于任何给定的三角形沙子，计算沙子表面上方的水量很容易。 它是三角形prizm的体积加上与沙子接触的四面体的体积：

请注意，砂线以下的水量将以类似方式计算，但体积会更小，因为部分水将被沙子占据。 我建议在互联网上寻找典型的空气含沙量或持水能力。 或者任何短语都会返回一个理智的结果。 另请注意，如果沙子位于水线之上，某些三角形可能在沙子上方没有水。

对于网格的单个三角形，如果在砂线的上方和下方都有水量，则只需在所有三角形上循环以获得整个沙箱的总体积，即给定的高度。 / p>

请注意，这是一个非常愚蠢的算法，但我怀疑它会有一个不错的表现，相比于花哨的schmancier算法，它会尝试做更聪明的事情。 请记住，这只是每个三角形的少数乘法和求和，并且具有少量if语句或其他流控制的盲循环往往会快速执行，因为处理器可以很好地管道它。

如果您有一个非常详细的沙箱网格，并希望将计算推送到多个核心，则此方法可以轻松并行化，而不是在每个三角形上循环。 或者保持循环，并将不同的高度推入每个核心。 或者是其他东西;我将并行化和加速作为读者的练习。