检查排序数组上的算法

Question

我有一个长度为n的排序数组，我使用线性搜索将我的值与数组中的每个元素进行比较，然后我对大小为n/2的数组执行线性搜索，然后大小为n/4，n/8等，直到我对长度为1的数组进行线性搜索。在这种情况下，n是2的幂，执行的比较次数是多少？

不确定这个回答是否正确，但我认为比较的次数是

  

T（2 ⁿ ）=（n / 2）+（n / 4）+ ... + 1.

我的理由是因为你必须经历每一个元素然后你继续添加它，但我仍然不确定。如果有人能指引我，我会很感激

Answer 1

您在问题中设置的重复有点偏离，因为如果n是输入的长度，那么您不会用2 ⁿ 表示输入的长度。相反，你可以把它写成n = 2 ^k 来选择k。一旦你有了这个，那么你可以这样做数学：

• 阵列的一半大小为2 ^k / 2 = 2 ^k-1
• 阵列四分之一的大小为2 ^k / 4 = 2 ^k-2
• ...

如果总结所有这些值，则会得到以下结果：

  

2 ^k + 2 ^k-1 + 2 ^k-2 + ... + 2 + 1 = 2 ^{k +1} - 1

你可以通过几种方式证明这一点：你可以使用归纳法，或者使用公式来计算几何序列的总和等。这在计算机科学中经常出现，因此值得投入记忆。

这意味着如果n = 2 ^k ，您的算法会及时运行

  

2 ^{k + 1} - 1 = 2（2 ^k ） - 1 = 2n - 1

因此运行时为2n - 1，即Θ（n）。

希望这有帮助！