如何找到二元矩阵方程AX = B的解？

Question

给定m * n二进制矩阵A，m * p二进制矩阵B，其中n> 1。 m什么是计算X的有效算法，使AX = B？

例如：

A = 
1  1  0  0  1  1  0  1  0  0  
1  1  0  0  1  0  1  0  0  1  
0  1  1  0  1  0  1  0  1  0  
1  1  1  1  1  0  0  1  1  0  
0  1  1  0  1  0  1  1  1  0 

B = 
0  1  0  1  1  0  1  1  0  1  0  0  1  0  
0  0  1  0  1  1  0  0  0  1  0  1  0  0  
0  1  1  0  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  
0  0  1  1  1  1  0  0  0  1  1  0  0  0  
1  0  0  1  0  0  1  0  1  0  0  1  1  0  

注意，当我说二进制矩阵时，我指的是在字段Z_2上定义的矩阵，也就是说，所有算术都是mod 2。

如果有任何意义，这是我在为随机纠错码生成合适的矩阵时遇到的问题。

Answer 1

你可以通过减少行来实现：将B放在A的右边，然后交换行（在整个事物中）得到行0，col 0的1;然后xor该行到第0列中有'1'的任何其他行，因此在第0列中只有一个1。然后移动到下一列;如果[1,1]为零，则将行1与后面的行交换为1，然后使用xor行使其成为列中的唯一行。假设'A'是一个方阵并且存在一个解，那么你最终将A转换为单位，并将B替换为Ax = B的解。 如果n> m，你有一个比方程更多未知数的系统，所以你可以解决一些未知数，并将其他未知数设置为零。在行减少期间，如果列中没有要使用“1”的值（在已经减少的行之下），则可以跳过该列并使相应的未知零（您可以在最多nm时间执行此操作）。