Question

我有以下等式：

f(N):  N = ((1+lam)^3 )/ ((1-lam)*(1+lam^2));

我需要为指定的lam创建一个查找N的函数。

现在我正在使用简单循环：

lam = 0.9999;
n = f(lam);
pow = 0;
delta = 0.1;
while(abs(N - n)) > 0.1 & pow < 10000)
    lam = lam - 0.001;
    n = f(lam)
    pow = pow+1;
end

如何更准确地解决它而不使用循环？

Answer 1

如果你有

N = ((1+lam)^3 )/ ((1-lam)*(1+lam^2))

然后你知道

(1+lam)^3 = N*(1-lam)*(1+lam^2)

假设您要扩展这些条款？合并为一个简单的三次方程，实系数等于零？是否有能够为您解决的功能？

答案是肯定的。一种解决方案可能是使用fzero，但由于方程式只是一个三次多项式，因此除非您需要符号解，否则根就是答案。使用符号工具箱进行符号问题。

Answer 2

以下是Wolfram Alpha对N = 10的解决方案：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx^3)/((1-x)*(1%2Bx^2))%3D10

代数解决方案适用于您的特定情况，因为它并不十分困难。问题在于，通常，非线性方程需要迭代解决方案：从猜测开始，沿特定方向步进，并希望收敛到解决方案。一般没有迭代和循环，你无法求解非线性方程。

Answer 3

将等式重新排列为0 = f(x)/g(x)（其中f和g为多项式）。然后求解0 = f(x)。这应该很容易，因为f将是立方（http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Roots_of_a_cubic_function）。实际上，Matlab具有roots()功能来执行此操作。

Answer 4

绘图表明，对于N阳性，区间[-1,1]中只有一个解。您应该考虑Newton's method，它会很快收敛为零初始猜测。

Answer 5

你可以以封闭的形式解决这个等式，正如其他答案中所讨论的那样，但是对于多项式的度数＆gt;诚实地说，封闭式解决方案。 2在实践中不是很有用，因为结果往往条件差。

对于你的特殊多项式，我同意亚力山大认为牛顿的方法可能是要走的路。

从长远来看，我强烈建议您编写（或从Internet重用）Jenkins-Traub根查找算法的实现。维基百科将其描述为“实际上是黑盒多项式寻根者的标准”，并且它们并没有夸大其词。多年来，它满足了我的所有多项式求解需求;根据我的经验，它比Newton的方法（不依赖于良好的初始猜测）和基于特征值的方法更强大，并且启动速度非常快。

Answer 6

对于大多数N值，您的问题有一个代数解决方案。以下是Wolfram Alpha解决的解决方案：

if N+1!=0
   x = (20 N^3+18 N^2+3 sqrt(3) sqrt(16 N^6+32 N^5-20 N^4-72 N^3-9 N^2+54 N+27)-27 N-27)^(1/3)/(3 2^(1/3) (N+1))-(2^(1/3) (2 N^2+3 N))/(3 (N+1) (20 N^3+18 N^2+3 sqrt(3) sqrt(16 N^6+32 N^5-20 N^4-72 N^3-9 N^2+54 N+27)-27 N-27)^(1/3))+N/(3 (N+1))

是的，这很难看。

如果你有一个，那么一个精确的代数解决方案，即使是像这样一个大丑陋的解决方案，总是优于数值解决方案。正如duffymo指出的那样，用数值方法解决问题需要迭代（因此它很慢），并且求解器可能陷入局部最小值。

找到方程解的简单方法

6 个答案: