Question

我对硕士定理有点兴奋，我试图通过递归求解2个大小为n的子问题并结合解决方案，找出解决大小n-1问题的算法的运行时间在不断的时间所以公式是：
T(N) = 2T(N - 1) + O(1)
但我不确定如何制定主定理的条件我的意思是我们没有T(N/b)因此b的主定理公式是b=N/(N-1)吗？如果是，那么a > b^k k=0显然是O(N^z)，而z=log2 (N/N-1)的基础为{{1}}，我怎么能理解这个？假设到目前为止我是对的？

Answer 1

啊，提示就足够了。解决方案实际上非常简单。 z变换双方，对术语进行分组，然后反向z变换以获得解决方案。

首先，将问题视为

    x[n] = a x[n-1] + c

将z变换应用于双方（关于ROC有一些技术性，但暂时忽略它）

    X(z) = (a X(z) / z) + (c z / (z-1))

求解X（z）得到

    X(z) = c z^2 / [(z - 1) * (z-a)]

现在观察到这个公式可以重写为：

    X(z) = r z / (z-1) + s z / (z-a)

其中r = c /（1-a）且s = -a c /（1-a）

此外，请注意

    X(z) = P(z) + Q(z)

其中P（z）= rz /（z-1）= r /（1 - （1 / z）），Q（z）= sz /（za）= s /（1 - a（1 / Z））

应用逆z变换得到：

    p[n] = r u[n]

和

    q[n] = s exp(log(a)n) u[n]

其中log表示自然对数，u [n]是单位（Heaviside）阶跃函数（即对于n> = 0，u [n] = 1，对于n <0），u [n] = 0。

最后，通过z变换的线性：

    x[n] = (r + s exp(log(a) n))u[n]

其中r和s如上所定义。

重新回到原来的问题，

    T(n) = a T(n-1) + c

然后

    T(n) = (c/(a-1))(-1+a exp(log(a) n))u[n]

其中exp（x）= e ^ x，log（x）是x的自然对数，u [n]是单位步长函数。

这告诉你什么？

除非我犯了错误，否则T会随着指数增长而增长。在合理的假设下，这实际上是指数增加的函数a> 1。 1.指数由a（更具体地说，a的自然对数）控制。

再简化一次，请注意exp（log（a）n）= exp（log（a））^ n = a ^ n：

    T(n) = (c/(a-1))(-1+a^(n+1))u[n]

所以O（a ^ n）用大O表示法。

现在这是一个简单的方法：

把T（0）= 1

    T(n) = a T(n-1) + c

    T(1) = a * T(0) + c = a + c
    T(2) = a * T(1) + c = a*a + a * c + c
    T(3) = a * T(2) + c = a*a*a + a * a * c + a * c + c
    ....

请注意，这会创建一个模式。具体是：

    T(n) = sum(a^j c^(n-j), j=0,...,n)

把c = 1给出

    T(n) = sum(a^j, j=0,...,n)

这是几何系列，其评估结果为：

    T(n) = (1-a^(n+1))/(1-a)
         = (1/(1-a)) - (1/(1-a)) a^n
         = (1/(a-1))(-1 + a^(n+1))

表示n> = 0。

注意，使用z变换方法，此公式与上面给出的c = 1相同。再次，O（a ^ n）。

Answer 2

甚至不要考虑师父的定理。当你获得主要定理时，你只能使用Masther定理。 1的一般形式为T（n）= aT（n / b）+ f（n）。

相反，想一想这样。您有一个递归调用，在每次递归调用时将输入n的大小递减1。并且在每次递归调用时，成本都是常数O（1）。输入大小将减少，直到达到1.然后，您将累计用于进行递归调用的所有成本。他们有几个人？ ñ。所以这需要O（2 ^ n）。

Answer 3

看起来你无法根据主定理来解决这个问题。

一个好的开始是绘制递归树以理解模式，然后用替换方法证明它。您也可以多次展开公式，看看它的位置。

另请参阅此问题，该问题解决了2个子问题，而不是a： Time bound for recursive algorithm with constant combination time

Answer 4

可能你会想到这样吗

当

n = 1, T(1) = 1
n = 2, T(2) = 2
n = 3, T(3) = 4
n = 4, T(4) = 8
n = 5, T(5) = 16

很容易看出这是一个几何系列1 + 2+ 4+ 8 + 16...，其总和是第一学期(ratio^n - 1)/(ratio - 1)。对于这个系列，它是

1 * (2^n - 1)/(2 - 1) = 2^n - 1.

这里的主导词是2^n，因此该函数属于Theta(2^n)。您可以通过执行lim(n->inf) [2^n / (2^n - 1)] = +ve constant.

来验证它

因此该函数属于Big Theta (2^n)

无法弄清楚这种复发的复杂性

4 个答案: