Question

我想计算y = a⊗a⊗a，其中a是n-by-1向量，⊗是outer product operator。在这种情况下，y应该是n-by-n-by-n张量。

如果y = a⊗a，这很容易。我只是这样做：

y = a * a'

但是在第一种情况下该怎么办？如果有两个以上的向量，如何在MATLAB中有效地计算这个外积？

Answer 1

在y = u⊗v的多维（张量）情况下，我认为您需要移动第二个操作数的维度，如下所示：

v_t = permute(v, circshift(1:(ndims(u) + ndims(v)), [0, ndims(u)]));

然后将它们与bsxfun：

相乘

y = bsxfun(@times, u, v_t);

常规矩阵乘法仅针对向量和二维矩阵定义，因此我们不能在一般情况下使用它。

另请注意，如果第二个操作数是1-D向量，则此计算仍然失败，因为ndims对于向量返回2而不是1。为此，我们定义我们自己的计算维度的函数：

my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));

要完成答案，您可以定义一个新函数（例如。匿名函数），如下所示：

outprod = @(u, v)bsxfun(@times, u, permute(v, circshift(1:(my_ndims(u) + my_ndims(v)), [0, my_ndims(u)])));

然后根据需要多次使用它。例如，y = a×a×a将按如下方式计算：

y = outprod(outprod(a, a), a);

当然，您可以编写一个更好的函数，它可以使用可变数量的参数来为您节省一些输入。这些方面的东西：

function y = outprod(u, varargin)
    my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));
    y = u;
    for k = 1:numel(varargin)
        v = varargin{k};
        v_t = permute(v, circshift(1:(my_ndims(y) + my_ndims(v)),[0, my_ndims(y)]));
        y = bsxfun(@times, y, v_t);
    end

我希望我的数学合适！

Answer 2

您也可以使用kron功能：

kron(a * a', a)

或当需要四种外部（kronecker张量）产品时：

kron(kron(a * a', a), a)

等等。最后一个给出了 m x n 矩阵，其中m = n * n * n。

如果需要在产品上添加尺寸，您可以使用reshape功能：

reshape(kron(a * a', a), [n, n, n])

或

reshape(kron(kron(a * a', a), a), [n, n, n, n])

等等。最后一个给你一个 n x n x n x n 张量。

Answer 3

在a previous solution中使用kron的问题在于它抛弃了外部产品的规范索引。

相反，ndgrid非常适合这种情况：

a = [1; 2; 3];
b = [4; 5];
c = [6; 7; 8; 9];

[xx, yy, zz] = ndgrid(1:length(a), 1:length(b), 1:length(c));

% desired outerproduct
M = a(xx) .* b(yy) .* c(zz);

在纸面上，我们可以检查所需的解决方案M是否为datacube：

M(:,:,1) = | M(:,:,2) = | M(:,:,3) = | M(:,:,4) = 
           |            |            |
24    30   | 28    35   | 32    40   | 36    45
48    60   | 56    70   | 64    80   | 72    90
72    90   | 84   105   | 96   120   | 108   135

使用Kronecker产品方法

M2 = reshape(kron(a * b', c), [length(a), length(b), length(c)]);

我们会得到：

M2(:,:,1) = | M2(:,:,2) = | M2(:,:,3) = | M2(:,:,4) = 
            |             |             |
24    36    | 64    84    | 30    45    | 80   105
28    48    | 72    96    | 35    60    | 90   120
32    56    | 72   108    | 40    70    | 90   135

Datacube M2与M具有相同的元素，但这些元素重新排列。这是因为kron(a * b', c)在连续块中不包含M的切片，以便于直接应用reshape函数。要以这种方式计算外部产品，我们需要对kron(a * b', c)的元素应用重新排列操作/函数（可确定，但是非常费时且耗时）。

使用ndgrid的另一个好处是它可以轻松地推广到更高的订单。

如何在matlab中一次性获取两个以上矩阵的外积？

3 个答案: