Question

我有一个完整的无向图，其中节点表示平面上点的点，边是点之间的近似欧氏距离。我想把这个图“嵌入”二维空间。也就是说，我想将每个顶点转换为（x，y）位置元组，这样对于任意两个顶点v和w，边（v，w）的权重接近dist（v，w）。

例如，如果我有带有节点A，B，C和D的图形以及带有权重（A，B）的边：20; （A，C）：22; （A，D）：26; （B，C）：30; （B，D）：20，（C，D）：19，然后你可以分配点A：（0,0）; B：（10,0）; C：（0,10）; D：（10,10）。显然这是不完美的，但这是一个合理的近似值。

我不关心获得最佳解决方案，我只想在合理的时间内找到合理的解决方案。

（如果你想要解决这个问题的动机。我有一个物理系统，我对所有点对的距离进行噪声测量。距离测量是有噪声的，但往往在真实值的两倍之内我已完成所有这些测量，现在有一个包含数千个节点和数百万个边的图，并希望将这些点放在一个平面上。）

Answer 1

您可以根据需要调整force-based图形绘制算法。

此算法尝试通过将G(V,E)中的每个顶点视为笛卡尔点并将V中的每个边视为线性弹簧来为无向图E找到良好的布局。此外，在全局顶点之间计算成对排斥力（即库仑定律） - 这可以防止笛卡尔空间中的顶点聚类在G(V,E)中不相邻。

在你的情况下，你可以设置弹簧的平衡长度等于你的边缘权重 - 这应该给出一个布局，其中成对的欧几里德顶点距离接近你的边缘权重。

该算法基于每个顶点处的力的总和以伪时间步进方式更新初始分布（可能是随机的）。当达到近似稳态时，算法终止。简化的伪代码：

while(not converged)
    for i = vertices in V
        F(i) = sum of spring + repulsive forces on ith vertex
    endfor
    Update vertex positions based on force vector F 
    if (vertex positions not changing much)
        converged = true
    endif
endwhile

可以应用许多优化来降低算法的复杂性。例如，空间索引（例如四叉树）可用于允许有效计算“近似”顶点之间的近似排斥力，而不是慢速全局计算。也可以使用多级图形聚集技术来提高收敛性和最优性。

最后，请注意，有几个很好的图形绘制库可以实现此算法的优化版本 - 例如，您可能需要查看Graphviz。

Answer 2

首先，我想我会采用启发式搜索方式。

你实际上想要找到一组最小化函数的点p1，p2，...，p_n：

f(X) = Sum (|dist(p_i,p_j) - weight(n_i,n_j)|) [for each i,j ]

问题可以通过一些算法启发式解决，包括Hill Climbing和Genetic Algorithms。

我个人喜欢Hill Climbing，方法如下：

best <- [(0,0),(0,0),...,(0,0)]
while there is still time:
    S <- random initialized vector of points
    flag <- true
    while (flag):
        flag <- false
        candidates <- next(S) (*)
        S <- X in candidates such that f(X) <= f(Y) for each X in candidates (**)
        if f(S) was improved:
            flag <- true
    if f(S) <= f(best):
        best <- S
return best

(*) next（）生成候选列表。它可以利用关于函数梯度的信息（并且基本上衰减成类似于gradient descent的东西），或者采样一些随机的“方向”并将它们作为候选者（所有这些都在多维向量中，每个点都有是一个维度）。
(**)在这里，您基本上选择了“最佳”候选者，并将其存储在S中，因此您将在下一次迭代中继续使用它。

请注意，该算法为any-time，因此您需要花费更多时间才能获得更好的效果。这种行为是通过起始点的随机初始化来实现的 - 这可能会改变结束结果，也可以通过随机选择候选点来实现。

在欧氏空间中嵌入图

2 个答案: