寻找欧氏空间中“最紧密”的子集

Question

我在R ^ d的点x_1，x_2，... x_n \给出。我希望找到k个点的子集，使得这些k点之间的距离之和最小。天真这是一个O（n选择k）问题，但我正在寻找一种更快的算法。

我可以想到两种可供选择的等效配方：

1. 最小边缘权重集团问题：将点视为图形，边缘权重是距离，并找到最小权重集团。 This is equivalent to maximal edge weight problem，已知是NP完全的。但是，我知道我的图形嵌入在R ^ d中，并且所有权重都是正数，所以也许这可能有帮助吗？

2. 最小的无约束子矩阵问题：我给出了对称距离矩阵，我希望找到一个kXk次要的最小和。

我很感激你的帮助。

Answer 1

最明显的优化并不需要任何不同的公式。

首先贪婪地找到一个近乎理想的候选人。尝试通过交换成员来在线性时间内完善它。然后进行详尽的搜索，但每当新候选人比贪婪候选人更糟糕的时候停止搜索搜索空间。

E.g。

1. 计算平均值
2. 按平均距
的平方距离排序对象
3. 按此顺序测试长度为k的所有n-k个间隔，选择最佳
4. 对于任何未选择的对象，如果它改善了分数，请尝试将其与所选对象之一交换

现在你应该有一个相当不错的修剪候选人。

然后进行详尽的搜索，并在比这个候选人更糟糕时停止。

注意：步骤1-3是从快速凸包算法中获得的灵感。