Question

路径的“长度”是路径中的边数。

给定一个源顶点和一个目标顶点，我想找到路径数从源顶点到给定长度 k的目标顶点。

我们可以根据需要多次访问每个顶点，因此如果从a到b的路径如下：a -> c -> b -> c -> b则认为它有效。这意味着可以有周期，我们可以多次通过目的地。
两个顶点可以通过多个边连接。因此，如果顶点a顶点b通过两条边连接，那么路径a -> b通过边1和a -> b通过边2被认为是不同的。
顶点数N是＆lt; = 70，而路径长度K是＆lt; = 10 ^ 9.
由于答案可能非常大，因此应以模数形式报告。

这是我到目前为止所想的：

我们可以使用breadth-first-search而不将任何顶点标记为已访问，在每次迭代时，我们会跟踪该路径所需的边数'n_e'以及产品'p'我们路径中每条边的重复边数。

如果n_e大于k，搜索搜索应该终止，如果我们到达n_e等于k的目的地，我们就会终止搜索并将p添加到计数中路径数量。

我认为我们可以使用深度优先搜索而不是广度优先搜索，因为我们不需要最短路径，并且在广度优先搜索中使用的Q的大小可能不够。

我正在考虑的第二种算法与使用Floyd Warshall's Algorithm方法的this类似。只有我们不需要最短的路径，所以我不确定这是否正确。

我的第一个算法的问题是'K'可以达到1000000000，这意味着我的搜索将一直运行，直到它有10 ^ 9个边缘，而n_e边缘计数将在每个级别增加1，将是非常慢，我不确定它会终止大输入。

所以我需要一种不同的方法来解决这个问题;任何帮助将不胜感激。

Answer 1

所以，这是我记得的一个漂亮的图论技巧。

建立邻接矩阵A。如果A[i][j]和i之间存在边缘，则j为1，否则为0。

然后，k和i之间的长度j的路径数就是A ^ k的[i][j]条目。

因此，为了解决这个问题，构建A并使用矩阵乘法构造A ^ k（这里适用于取幂的常用技巧）。然后只需查看必要的条目。

编辑：嗯，你需要在矩阵乘法中进行模运算以避免溢出问题，但这是一个小得多的细节。

Answer 2

实际上，A ^ k的[i] [j]条目在每个简单图中显示了完全不同的“行走”，而不是“路径”。我们可以通过“数学归纳”轻松证明它。然而，主要问题是在给定图中找到完全不同的“路径”。我们有一些不同的算法要解决，但上面的频段如下：

（n-2）（n-3） ...（n-k）其中“k”是表示路径长度的给定参数。

Answer 3

让我在上面的答案中添加更多内容（因为这是我遇到的扩展问题）。扩展的问题是

在给定的无向树中查找长度为k的路径数。

对于图A的给定邻接矩阵G，解决方案很简单，找出A ^k-1和A ^k然后计算对角线（或下方）上方元素中1的数量。

我还要添加python代码。

import numpy as np

def count_paths(v, n, a):
    # v: number of vertices, n: expected path length
    paths = 0    
    b = np.array(a, copy=True)

    for i in range(n-2):
        b = np.dot(b, a)

    c = np.dot(b, a)
    x = c - b

    for i in range(v):
        for j in range(i+1, v):
            if x[i][j] == 1:
                paths = paths + 1

    return paths

print count_paths(5, 2, np.array([
                np.array([0, 1, 0, 0, 0]),
                np.array([1, 0, 1, 0, 1]),
                np.array([0, 1, 0, 1, 0]),
                np.array([0, 0, 1, 0, 0]),
                np.array([0, 1, 0, 0, 0])
            ])

在无向未加权图中查找给定长度的路径数

3 个答案: