Question

我正在学习测试，我无法解决这个问题：

我们得到一组 n＆lt; 1000 点和整数 d 。任务是创建两个不相交的点 A_1 和 A_2 （该联合被赋予 n 点的集合）以使得距离来自 A_i （对于i = 1或2）的每对点之间的（欧几里德）小于或等于 d 。如果无法打印，请打印 -1 。

例如，输入：

d = 3，并指出：

（5,3），（1,1），（4,2），（1,3），（5,2），（2,3），（5,1）

我们可以创建：

A_1 = {（2,3），（1,3），（1,1）}

A_2 = {（5,3），（4,2），（5,2），（5,1）}

因为来自A_i的每对点（对于i = 1或2）足够接近。

我真的想知道如何解决它，但不知道。由于n很小，算法甚至可以是O（n ^ 2 log n），但我不知道如何启动。我在想，也许从计算每对点之间的距离开始，然后取两个最大距离的点并将它们放入不同的组（如果它们的距离大于d）。然后对剩下的对重复此步骤，但问题是如何决定合法地放置下一个点的位置。任何人都可以帮助这个算法吗？

Answer 1

让我们考虑一个带有 n 节点的简单图表（对应于 n 点）。如果两个对应点之间的距离大于 d ，则连接两个节点。

如果可以创建两个脱离集，我们必须有一个双向图（如果某些节点没有连接到其他节点，它们可以放在任何集中）。

因此，我们只需要测试图的二分性，这很简单：

http://en.wikipedia.org/wiki/Bipartite_graph#Testing_bipartiteness

Answer 2

从距离矩阵开始似乎是一个好主意。然后在这个距离矩阵中挑选每个大于d的条目。此条目意味着相应的点必须在不同的集合中。

从两个空集开始并迭代所有相关条目（＆gt; d）。

如果集合为空，请将两个点放入其中。否则有三种选择：

如果清楚哪个点属于哪个，则将它们放入其中（这意味着，插入该点会保留最大距离标准，可以从距离矩阵中获得）。
如果无法将点插入其中一个集合中，则问题无法解决。
如果这两个点都有可能，我们就有问题了。我建议开始一对新的点集并将点数放入其中。然后，如果后续点对再次不清楚，请检查第二组对。如果还不清楚，请检查第三组对，依此类推。如果将点对插入到上一组中，请检查以下几组，如果现在清除了点。最后，你有一组成对的点数，可以按照你的意愿联合起来。

我对第二种方法有了一个想法，它类似，但应该更快一点。

我们也从距离矩阵开始。

除了这两组之外，我们还维护一个堆栈，队列或任何新添加的条目。

因此，如果我们从距离矩阵中选择第一个相关条目，则将这些点添加到两个队列中。只要其中一个队列中有条目，请执行以下操作：

从队列中删除该点并将其插入到集合中。如果插入打破了最大距离标准，则问题无法解决。检查此点的距离矩阵中的行或列，并提取此行/列中的每个相关条目。将伙伴点添加到另一组的队列中（因为它必须位于不同的集合中）。

如果两个队列都为空，请将尚未访问过的下一个相关条目添加到队列中并重新开始。

该算法的优点是按照它们可以相互影响的顺序处理这些点。因此，不需要一对以上的套装。

Answer 3

想想一个阵列，顶部的所有点和侧面的所有点。

如果定义单元格的两个点（左侧和顶部）大于d，则填充任何单元格中的零，如果两个点小于d，则填充一个。

       (5,3), (1,1), (4,2), (1,3), (5,2), (2,3), (5,1)
(5,3),          0      1      0      1      1      1
(1,1),   0             0      1      0      1      0
(4,2),   1      0             0      1      1      1
(1,3),   0      1      0             0      1      0
(5,2),   1      0      1      0             0      1
(2,3),   1      1      1      1      0             0
(5,1)    1      0      1      0      1      0

（注意：您必须填写每个三角形，并翻转相同的0和1。）

忽略对角线。注意右上角的三角形部分。

跳过第0列。

从第1列开始，如果顶行没有1，则将其与右行的另一列交换，其中第一列的列为1。然后交换相同的行以保持对角线空白。（如果没有，则没有解决方案。）[示例：交换第2列和第3列以及第2行和第3行]请注意，此行的选择可能会成为优化因素。

移动到下一列，如果它在顶行中没有1，则用右边的列交换并交换相应的行。如果没有，请尝试在其下方的行中交换该行，并在该列中包含1并执行相应的列。如果低于对角线，则应忽略它下面的行。

我们正在收集三角形左上角中有1个点的点。这些点都可以放在其中一个集合中。

这是我迷失在脑海中的地方，但你必须从三角形的右下角开始做一个类似的过程，并收集将在另一个集合中的点。交换行和相应的列以收集三角形右下角的1。

一旦你交换了足够的行，你可以在右上角形成一个矩形 - 一个没有左下角的真正矩形 - 这个矩形包含所有的0，你有一个解决方案。如果你不能这样做，那就没有办法解决。

最低行与三角形中的1和最右边的列进行比较，三角形中的1和它们相遇的单元格。该单元格必须位于三角形中才能找到解决方案。

（我给你留下了一个很大的“待办事项”，找到如何交错行和列的交换，以清除三角形的左上角和右下角的0。也许这里的讨论可以解决如何使它工作。或者发现它不起作用。）

拆分点集，算法

3 个答案: