2D案例

Question

我想找出2个矢量（2D，3D）之间的顺时针角度。

使用点积的clasic方式给出了内角（0-180度），我需要使用一些if语句来确定结果是否是我需要的角度或其补码。

您是否知道计算顺时针角度的直接方法？

Answer 1

2D案例

就像dot product与角度的余弦成正比一样，determinant与其正弦成正比。所以你可以像这样计算角度：

dot = x1*x2 + y1*y2      # dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1*y2 - y1*x2      # determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

此角度的方向与坐标系的方向匹配。在left-handed coordinate system中，即 x 指向右侧， y 向下，这是计算机图形常见的，这意味着您将获得顺时针角度的正号。如果坐标系的方向是 y 向上的数学方向，则得到逆时针角度，就像数学中的惯例一样。更改输入的顺序将改变符号，因此如果您对符号不满意，只需交换输入。

3D案例

在3D中，两个任意放置的矢量定义它们自己的旋转轴，垂直于两者。该旋转轴没有固定的方向，这意味着您无法唯一地固定旋转角度的方向。一个常见的惯例是让角度始终为正，并使轴线定向成适合正角度的方向。在这种情况下，归一化向量的点积足以计算角度。

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2    #between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))

平面嵌入3D

一种特殊情况是您的矢量不是任意放置，而是位于具有已知法向量 n 的平面内。然后旋转轴也将在 n 的方向上， n 的方向将固定该轴的方向。在这种情况下，您可以将上面的2D计算（包括 n ）调整为determinant，使其大小为3×3。

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = x1*y2*zn + x2*yn*z1 + xn*y1*z2 - z1*y2*xn - z2*yn*x1 - zn*y1*x2
angle = atan2(det, dot)

这项工作的一个条件是法向量 n 具有单位长度。如果没有，你必须将其标准化。

作为三重产品

此决定因素也可以表示为建议编辑中指出的triple product @Excrubulent。

det = n · (v1 × v2)

这在某些API中可能更容易实现，并且对这里发生的事情提供了不同的视角：交叉积与角度的正弦成正比，并且垂直于平面，因此是<的倍数EM>名词的。因此，点积基本上会测量该矢量的长度，但附加了正确的符号。

Answer 2

要计算角度，您只需要为2D情况调用atan2(v1.s_cross(v2), v1.dot(v2))。其中s_cross是交叉生产的标量模拟（平行四边形的符号区域）。对于2D楔形生产的情况。对于3D情况，您需要定义顺时针旋转，因为从平面的一侧顺时针是一个方向，从平面的另一侧是另一个方向=）

编辑：这是逆时针角度，顺时针角度恰好相反

Answer 3

这个答案与MvG相同，但解释不同（这是我努力理解为什么MvG解决方案有效的结果）。我发布的是其他人认为有用的机会。

从theta到x的逆时针角度y，相对于给定法线n（||n|| = 1）的观点，给出了由

atan2（dot（n，cross（x，y）），dot（x，y））

（1）= atan2（|| x || || y || sin（theta），|| x || || y || cos（theta））

（2）= atan2（sin（theta），cos（theta））

（3）= x轴与矢量之间的逆时针角度（cos（theta），sin（theta））

（4）= theta

其中||x||表示x的大小。

注意步骤（1）

cross（x，y）= || x || ||ÿ|| sin（theta）n，

等等

dot（n，cross（x，y））

= dot（n，|| x || || y || sin（theta）n）

= || x || ||ÿ|| sin（theta）dot（n，n）

等于

|| X || ||ÿ||罪（THETA）

如果||n|| = 1。

步骤（2）遵循atan2的定义，注意atan2(cy, cx) = atan2(y,x)，其中c是标量。步骤（3）遵循atan2的定义。步骤（4）遵循cos和sin的几何定义。

Answer 4

两个向量的标量（点）乘积可以得到它们之间角度的余弦。为了获得角度的“方向”，你还应该计算十字产品，它会让你检查（通过z坐标）角度是顺时针还是没有（即你应该从360度提取它）。

Answer 5

对于2D方法，您可以使用法则余弦和＆＃34;方向＆＃34;方法

计算段P3的角度：P1 顺时针扫描到P3：P2。

    double d = direction(x3, y3, x2, y2, x1, y1);

    // c
    int d1d3 = distanceSqEucl(x1, y1, x3, y3);

    // b
    int d2d3 = distanceSqEucl(x2, y2, x3, y3);

    // a
    int d1d2 = distanceSqEucl(x1, y1, x2, y2);

    //cosine A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc
    double cosA = (d1d3 + d2d3 - d1d2)
        / (2 * Math.sqrt(d1d3 * d2d3));

    double angleA = Math.acos(cosA);

    if (d > 0) {
        angleA = 2.*Math.PI - angleA;
    }

This has the same number of transcendental

作为上述建议的操作，只有一个更多左右的浮点运算。

它使用的方法是：

 public int distanceSqEucl(int x1, int y1, 
    int x2, int y2) {

    int diffX = x1 - x2;
    int diffY = y1 - y2;
    return (diffX * diffX + diffY * diffY);
}

public int direction(int x1, int y1, int x2, int y2, 
    int x3, int y3) {

    int d = ((x2 - x1)*(y3 - y1)) - ((y2 - y1)*(x3 - x1));

    return d;
}

Answer 6

如果通过“直接方式”表示避免使用if语句，那么我认为没有一个非常普遍的解决方案。

但是，如果您的特定问题会导致角度离散化失去一些精度，并且您可以在类型转换中省略一些时间，则可以将[-pi，pi]允许的角度范围映射到某些允许的范围内有符号整数类型。那么你将获得免费的互补性。但是，我在实践中并没有真正使用这个技巧。最有可能的是，浮点到整数和整数到浮点转换的费用将超过直接性的任何好处。在进行大量角度计算时，最好设置编写可自动恢复或可并行化代码的优先级。

此外，如果您的问题详细信息使得角度方向的结果更加明确，那么您可以使用编译器的内置函数将此信息提供给编译器，以便更有效地优化分支。例如，在gcc的情况下，那是__builtin_expect函数。当你将它包装到这样的likely和unlikely宏（比如在linux内核中）时，使用它会更方便：

#define likely(x)      __builtin_expect(!!(x), 1)
#define unlikely(x)    __builtin_expect(!!(x), 0)

Answer 7

一个在两个向量xa，ya和xb，yb之间的顺时针2D情况的公式。

角度（vec.a-vec，b）= pi（）/ 2 *（（1 + sign（ya））*（1-sign（xa ^ 2））-（1 + sign（yb））* （1-sign（xb ^ 2）））

                        +pi()/4*((2+sign(ya))*sign(xa)-(2+sign(yb))*sign(xb))

                        +sign(xa*ya)*atan((abs(ya)-abs(xa))/(abs(ya)+abs(xa)))

                        -sign(xb*yb)*atan((abs(yb)-abs(xb))/(abs(yb)+abs(xb)))

Answer 8

只需复制并粘贴。

angle = (acos((v1.x * v2.x + v1.y * v2.y)/((sqrt(v1.x*v1.x + v1.y*v1.y) * sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y))))/pi*180);

不客气;-）

Answer 9

由于最简单和最优雅的解决方案之一隐藏在评论中，我认为将其作为单独的答案发布可能会很有用。 <div *ngIf="submitted && registerForm.controls.name.errors"> <small class="form-text text-muted danger" *ngIf="f.name.errors.required" >Please enter a name!</small> </div> 可能会导致非常小的角度不准确，因此通常首选 acos。对于 3D 情况：

atan2

直接计算2个向量之间的顺时针角度的方法

9 个答案:

2D案例

3D案例

平面嵌入3D

作为三重产品