Question

让A设置一些（例如。1000, 1001, 1002, ..., 1999）。

让lessThan某个顺序关系函数（例如(a lessThan b) <-> (a > b)）。

让index一个函数（使用反index'）将A元素映射到自然元素。

示例：

index a = 2000 - a
index' n = 2000 - n

是否存在某种方法为P（多项式时间）中的所有（或某些类型）index对构造index'（和(A, lessThan)）函数？

最好的问候，并提前感谢！

已编辑：A可以按定义设置（例如，重复另一个大子集的所有组合），然后，我们不能假设A完全是可穿越（在P中）。

已编辑：另一个非常重要的例子，让An一个集合（像(x, y, p)这样的元素），其元素顺时针排列到n X n正方形，就像此

 1    2    3    4
12   13   14    5
11   16   15    6
10    9    8    7

然后，我们可以使用An（多项式）将Bn = [1..n^2]中的每个三元组映射到O(1)。

如果有一个An元素，我们index可以Bn O(1)。给定一个Bn元素，我们index'可以An O(1)。

// Square perimeter; square x = 1, 2, 3, ...
Func<int, int, int> perimeter = ( x, n ) => 4 * ( n - 2 * x + 1 ); 

// Given main diagonal coordinates (1, 1), (2, 2), ... return cell number
Func<int, int, int> diagonalPos = ( x, n ) => -4 * x * x + ( 4 * n + 8 ) * x - 4 * n - 3; 

// Given a number, return their square
Func<int, int, int> inSquare = ( z, n ) => (int) Math.Floor(n * 0.5 - 0.5 * Math.Sqrt(n * n - z + 1.0) + 1.0); 

Func<int, int, Point> coords = ( z, n ) => { 
    var s = inSquare(z, n); 
    var l = perimeter(s, n) / 4; // length sub-square edge -1 
    var l2 = l + l; 
    var l3 = l2 + l; 
    var d = diagonalPos(s, n); 
    if( z <= d + l ) 
        return new Point(s + z - d, s); 
    if( z <= d + l2 ) 
        return new Point(s + l, s + z - d - l); 
    if( z <= d + l3 ) 
        return new Point(s + d + l3 - z, s + l); 
    return new Point(s, s + d + l2 + l2 - z); 
};

（我读过“组合物种”，"Ordered construction of combinatorial objects"，"species" haskell package和其他人）

Answer 1

我可能误解了你想要的东西，但万一我不是：

如果lessThan定义了该集合的总订单，您可以通过

创建index和index'函数

将集合转换为列表（或数组/向量）
根据lessThan
将index'定义为Data.Map.fromDistinctAscList $ zip [1 .. ] sortedList
将index定义为Data.Map.fromDistinctAscList $ zip (map NTC sortedList) [1 .. ]

其中NTC是一个newtype构造函数，用于在Ord实例由lessThan给出的newtype中包装集合元素的类型。

newtype Wrapped = NTC typeOfElements

instance Eq Wrapped where
    (NTC x) /= (NTC y) = x `lessThan` y || y `lessThan` x
-- that can usually be done more efficiently

instance Ord Wrapped where
    (NTC x) <= (NTC y) = not $ y `lessThan` x

EDITED ：A可以是定义的集合（例如，重复另一个大子集的所有组合），然后，我们不能假设A是完全可遍历的（在P中）。

在这种情况下，除非我遗漏了一些基本的东西，否则原则上是不可能的，因为index'函数会提供对集合的完整遍历。

因此，当且仅当该集合在多项式时间内可遍历时，才能在多项式时间内创建index和index'函数。

有序集和自然双射（组合物种）

1 个答案: