寻找向量

Question

给定矢量V =（x，y，z），我如何找到构成V轴的2个矢量？换句话说，其中一个垂直并位于同一平面，另一个垂直于这两个向量。

我需要这个在OpenGL中实现一个漂亮的摄像头管理器。

Answer 1

只给出一个矢量，你可以找到无限数量的矢量垂直于它。特别是这组矢量形成了一个平面，你的给定矢量与其垂直。

鉴于某些矢量与第一个矢量不共线，您可以通过应用Gram-Schmidt orthogonalization找到垂直（=正交）矢量。让你的第一个向量为↑v ，↑u 是一些向量，这样↑u = / = l↑v，然后是一个垂直的↑u_ =↑u - ↑v （↑u·↑v）

Answer 2

这个问题确实是StackOverFlow的主题，但我有一分钟。您要求形成三元组正交向量，其中两个与您给定的向量正交。最简单的方法是使用QR分解。

我将在MATLAB中完成，它可以很好地完成线性代数。从一些任意列向量v。

开始

v = [1 2 3]'
v =

     1
     2
     3

只有一列的那个数组的QR分解产生矩阵Q和R.我们只需要Q.

[Q,R] = qr(v);

Q的列给你你需要的东西。

Q =

  -0.267261241912424   -0.534522483824849   -0.801783725737273
  -0.534522483824849    0.774541920588438   -0.338187119117343
  -0.801783725737273   -0.338187119117343    0.492719321323986

看到第一列只是v，缩放为“单位”向量。如果您不喜欢所产生的方向，我们也可以在任意轴上的一组轴上任意乘以-1。该矩阵的第二和第三列是与给定矢量正交的单位矢量。

当然，这不是你可能做到的唯一方法。例如，可以选择任何两个其他随机向量，然后使用Gram-Schmidt对三个向量的集合进行正交化。这是一个有效的方案，只要随机机会在您开始时不会产生一些线性相关集的向量。因此，该算法可能会失败，尽管极不可能。

另一种方案有效地使用了不超过一对交叉产品。因此，给定一些向量v1：

1. 随机选择v2。

2. 使用叉积，设置v3 = cross（v1，v2）。如果向量v3的范数为零，则返回步骤1，因为这意味着向量v1和v2是共线的。

3. 设置v2 = cross（v1，v3）。

这个算法很简单，与Gram-Schmidt正交化有一些相似之处，但编写起来相当简单。您需要小心步骤2中的测试，因为测试数字是否正好为零并不是一个好主意。您可能还希望在计算向量时将向量缩放为单位范数，因为这将解决一些数值问题。

最后，我仍然更喜欢使用QR分解，因为它很简单，不需要测试“零”，因此不需要明确的容差。