我知道冒泡排序，插入排序等，但有更有效的排序算法。通过Time Hierarchy Theorem，存在可以在O（n ^ 2）中解决但在O（n ^ r）中对于任何实数r＆lt;用于证明的结构不是很自然。什么是问题的一个很好的例子，其最有效的解决方案需要二次时间？
我正在寻找具有以下品质的东西：
小警告 - 输出不应该很大。 （如果你想要给定列表中每对整数的总和，显然需要二次时间来输出它们）。您可以假设它应该是decision problem，即具有是 - 否答案的{{3}}。我们还假设时间复杂度O（n ^ 2）是输入大小的函数，即n是表示输入所需的位数。
答案 0 :(得分：8)
Matrix multiplication具有Ω的理论下界（ n 2 ），因为所有 n 2 条目需要处理。迄今为止最着名的算法（根据上面链接的维基百科文章）具有复杂度O（ n 2.3727 ）。朴素算法具有复杂度 n 3 。
根据维基百科关于Computational complexity of mathematical operations的文章，三角矩阵的反向替换以获得 n 解是O（ n 2 ）。网上可能有很多其他的例子。
编辑：2014 paper by Michele Borassi, et al.，讨论了一些可以在O（ n 2 中解决的决策问题（输出大小O（1）） ）任何ε＆gt;时间但不在O（ n 2- ε ）中0.（当然，一如既往，这些结果取决于P≠NP，或者更准确地说，Strong Exponential Time Hypothesis是真的。）
他们的论文带有修改后的k-SAT problem：
输入：
输出： true如果对所有满足所有子句的变量进行评估，则False。
请注意，未修改的 k -SAT问题（输入中不包含上面的第三个项目符号）是NP完全的，因此通常会将其视为指数时间问题。但是，这里的输入大小本身就是变量数量的指数。他们表明，通过这种修改，问题总是可以在二次时间内解决（只需尝试所有可能的评估）。更重要的是，他们还表明这是解决问题的任何算法的最小时间复杂度。
有人可能反对这个修改过的 k -SAT问题很自然。然而，他们然后使用它来表明许多其他似乎很自然的问题也不能在O（ n 2 ）时间内解决。最简单的一个是子集图问题：
输入： X 的集合 X 和 X 的子集 C 。
输出：图形 G =（ C ， E ），其中，每个 C ， C '∈ C ，（ C ， C '）∈ E 当且仅当 C ⊆ C '。
答案 1 :(得分：1)
你在混合计算模型时犯了一个根本性的错误。
heirarchy定理是关于图灵机的时间，而其他大多数边界都有自己的模型（比如排序的比较模型），或者通常是关于RAM模型的。
所以真正的问题是，你在谈论哪种计算模型？
另外，谈论一个不比O（n ^ 2）（BigOh）差的最佳算法是无稽之谈。 BigOH是一个上限。你可能想要使用Theta。
答案 2 :(得分：1)
这差不多一年之后，但我想我有一个答案：部分订单发现。
考虑对总排序进行排序。你有一系列n个对象（我们假设它们是不同的），以及一个比较操作，它测试两个元素以查看一个是否小于或等于另一个。
您正在尝试发现元素所处的排列。有n个！可能的排列，所以你试图发现一个介于1和n之间的数字！每次比较都会给你一些信息。要发现1到n之间的数字！需要发现log（n！）位。因此，所需的比较次数也是log（n！）位，或：
log（n！）= n log n + o（n log n）=Ω（n log n）位
（所有对数当然都在基数2中。）
你不能比这更好。如果每个查询都提供了一位信息，并且您需要至少发现Ω（n log n）位，那么您需要进行Ω（n log n）次比较。如果你认为自己可以做得更好，可以选择Shannon，Chaitin和Kolmogorov。
但更好的是，即使在最坏的情况下（例如堆排序），也可以知道算法。从这个意义上说，堆排序是渐近最优的。
（注意，如果你有一个返回多个信息位的查询操作，你可以做得更好。例如，如果你能找到一个返回Ω（log n）位的那个，那么你应该能够在Ω（n）时间内排序。有关详细信息，请参阅基数排序。）
此分析适用于各种算法。在n个序列中查找单个事物需要发现1和n之间的数字，这意味着发现log n + O（1）位。如果查询操作返回一位，则需要Ω（log n）个查询来进行搜索。 （有关详细信息，请参阅二进制搜索。）
我想你可以看到我的目标。
现在假设你有n个元素，它们之间有一个部分顺序关系，但你不知道它是什么，想要找出来。但是，你所拥有的是一个查询，它比较两个元素x和y，如果x在部分顺序中小于或等于y，则返回“true”。
有一个明显的算法来发现需要Ω（n ^ 2）时间的偏序：简单地将每个元素与每个其他元素进行比较。
但这是最佳的吗？好吧，查询操作返回一位信息。 n个元素的部分订单数由Sloane's A001035给出。如果我正确读取它，此序列为Ω（2 ^（n ^ 2）），这意味着要发现部分顺序，您需要：
Ω（log 2 ^（n ^ 2））=Ω（n ^ 2）位
也就是说，你不能做得比Ω（n ^ 2）时间好，所以这是一个渐近最优的算法。
“那么”，我听到你问，“我买的是输入的大小是n的事实。但是不是输出的大小 O（n ^ 2），所以它在某种深层技术意义上实际上是一种线性算法？“
嗯......也许吧。我现在没有时间详细介绍细节，但我会回答一个问题。
在普通旧排序的情况下，我们可能会给出n 不同的元素。要区别对待，需要使用n 不同的标签进行标记。存储n个不同的标签意味着存储n个数字，每个数字在1和n之间。这些数字中的每一个都需要log n位来表示它，因此问题的总大小为n log n 位。那么为什么我们不说堆排序在问题的大小上是线性的呢？