用python求解同时多元多项式方程

Question

编辑：我从我的方程中得到的参考包含了几个错误。我在这里修好了。解决方案现在可能真的有意义了！

当两层流体流过地形时，存在一个数字 取决于流的相对大小的不同解决方案 速度和流体中的波速。

这些被称为'超临界'，'次临界'和'批判'（ 前两个我在这里称之为“额外关键”。）

以下等式定义了临界点之间的界限 和（h，U0）参数空间中的超临界行为：

我想消除d_1c（即我不在乎它是什么）并找到 (h, U_0)中这些方程的解。

简化因素：

• 我只需要给出 d_0
的答案
• 我不需要确切的解决方案，只是解决方案的大纲 曲线，所以这可以通过分析或数字解决。
• 我只想绘制区域（h，U0）=（0,0）到（0.5,1）。

我想使用Enthought中提供的模块来解决这个问题 分配（numpy，scipy，sympy），但真的不知道在哪里 开始。这是消除真正混淆的变量d1c 我。

以下是python中的等式：

def eq1(h, U0, d1c, d0=0.1):
    f = (U0) ** 2 * ((d0 ** 2 / d1c ** 3) + (1 - d0) ** 2 / (1 - d1c - d0) ** 3) - 1
    return f

def eq2(h, U0, d1c, d0=0.1):
    f = 0.5 * (U0) ** 2 * ((d0 ** 2 / d1c ** 2) - (1 - d0) ** 2 / (1 - d1c - d0) ** 2) + d1c + (h - d_0)
    return f

我期待一个有许多解决方案分支的解决方案（不是 总是身体，但不要担心）并且粗略地看 像这样：

我该如何实施？

Answer 1

半正式地，您要解决的问题如下：给定d0，求解逻辑公式“存在d1c使得eq1（h，U0，d1c，d0）= eq2（h，U0，d1c，对于h和U0，d0）= 0“。

存在一种将公式简化为多项式方程“P（h，U0）= 0”的算法，它被称为“量词消除”，它通常依赖于另一种算法“圆柱代数分解”。不幸的是，这尚未在sympy中实现。

但是，由于U0很容易被淘汰，因此您可以通过同情来找到答案。从

开始

h, U0, d1c, d0 = symbols('h, U0, d1c, d0')
f1 = (U0) ** 2 * ((d0 ** 2 / d1c ** 3) + (1 - d0) ** 2 / (1 - d1c - d0 * h) ** 3) - 1
f2 = U0**2 / 2 * ((d0 ** 2 / d1c ** 2) + (1 - d0) ** 2 / (1 - d1c - d0 * h)) + d1c + d0 * (h - 1)

现在，从f1中删除U0并将值插入f2（我正在“手动”而不是使用solve（）来获取更漂亮的表达式）：

U2_val = ((f1 + 1)/U0**2)**-1
f3 = f2.subs(U0**2, U2_val)

f3仅取决于h和d1c。此外，由于它是一个有理分数，我们只关心它的分子何时变为0，所以我们得到一个2个变量的多项式方程：

p3 = fraction(cancel(f3))

现在，对于给定的d0，您应该能够以数字方式反转p3.subs（d0，.1）以获得h（d1c），将其插回U0并将（h，U0）的参数图绘制为d1c的功能。

Answer 2

让我先讨论消除d1c。想象一下，你设法按下第一个等式，得到d1c = f(U, h, d0)形式。然后，您将其替换为第二个等式，并在U，h和d0之间建立一定的关系。固定d0后，这会定义两个变量U和h的单个等式，原则上，您可以从中找到任何给定U的变量h }。根据您的上一个草图，这似乎是您所谓的解决方案。 坏消息是从你的任何一个方程中得到d1c并不容易。好消息是你不需要。

fsolve可以采用一个方程组，比如说两个方程依赖于两个变量并给出解决方案。在这种情况下：修复h（已d0已修复），并将fsolve系统提供给您，将其视为变量U0和d1c。记录U0的值，重复h的下一个值，依此类推。

请注意，与@duffymo的建议相反，我建议使用fsolve，或者至少从它开始，并且只有在它失去动力时才寻找其他求解器。

可能需要注意的是，对于U0 h，您需要一个以上的解决方案：fsolve需要一个初始猜测，并且没有简单的方法可以告诉它收敛到其中一个解决方案分支。如果结果证明是个问题，请查看brentq求解器。

另一种方法是观察您可以轻松地从系统中消除U0。这样，您将获得h和d1c的单个等式，为d1c的每个值求解h，然后使用您的原始等式中的任何一个来计算U0 d1c和h。{/ p>

使用fsolve：

的示例

>>> from scipy.optimize import fsolve
>>> def f(x, p):
...   return x**2 -p
... 
>>> fsolve(f, 0.5, args=(2,))
array([ 1.41421356])
>>> 

此处args=(2,)是告诉fsolve如果f(x,2)=0您想要解决的问题，0.5是x值的起始猜测的语法}}。

Answer 3

使用非线性求解器（如Newton Raphson或BFGS）来求解同时的非线性方程。他们对初始条件和对基础的调节敏感，因此需要一些护理。