Big-O和Little-O表示法之间的区别

Question

Big-O 表示法O(n)和 Little-O 表示法o(n)之间有什么区别？

Answer 1

f∈O（g）表示，基本上

  

对于至少一个选择的常量 k ＆gt; 0，你可以找到常数 a ，使得不等式0＆lt; = f（x）＆lt; = k g（x）适用于所有x＆gt;一个。

请注意，O（g）是此条件所适用的所有函数的集合。

f∈o（g）说，基本上是

  

对于每个选择的常量 k ＆gt; 0，你可以找到常数 a ，使得不等式0＆lt; = f（x）＆lt; k g（x）适用于所有x>一个。

再次注意o（g）是一组。

在Big-O中，只需要找到一个特定的乘数 k ，其中不等式超出某些最小值 x 。

在Little-o中，必须存在最小 x ，在此之后，不管你做出多小的 k ，不平等都会成立，只要它不是否定或为零。

这两个都描述了上限，虽然有点违反直觉，Little-o是更强的说法。如果f∈o（g），则f和g的增长率之间存在比f∈O（g）更大的差距。

视差的一个例子是：f∈O（f）为真，但f∈o（f）为假。因此，Big-O可以被解读为“f∈O（g）意味着f的渐近增长不比g更快”，而“f∈o（g）意味着f的渐近增长严格地慢于g”。这就像<=与<。

更具体地，如果g（x）的值是f（x）的值的常数倍，则f∈O（g）为真。这就是使用big-O表示法时可以删除常量的原因。

然而，对于f∈o（g）为真，则g必须在其公式中包含x的更高幂，因此f（x）和g（x）之间的相对间隔当x变大时，实际上必须变大。

使用纯数学示例（而不是参考算法）：

对于Big-O，以下情况属实，但如果您使用little-o：

则不然

• x²∈O（x²）
• x²∈O（x²+ x）
• x²∈O（200 *x²）

对于little-o，以下情况属实：

• x²∈o（x³）
• x²∈o（x！）
• ln（x）∈o（x）

注意，如果f∈o（g），这意味着f∈O（g）。例如x²∈（x³）所以x²∈O（x³）也是如此，（再次，将O视为<=，将o视为<）

Answer 2

Big-O对于≤至<为小o。 Big-O是包含上限，而little-o是严格的上限。

例如，函数f(n) = 3n是：

• 位于O(n²)，o(n²)和O(n)
• 不在O(lg n)，o(lg n)或o(n)

类似地，数字1是：

• ≤ 2，< 2和≤ 1
• 不是≤ 0，< 0或< 1

这是一张表格，显示了一般概念：

（注意：该表是一个很好的指南，但其限制定义应该是superior limit而不是正常限制。例如，3 + (n mod 2)永远在3到4之间振荡。它在O(1)尽管没有正常限制，因为它仍有lim sup：4。）

我建议记住Big-O符号如何转换为渐近比较。比较更容易记住，但不太灵活，因为你不能说n ^O（1） = P。

Answer 3

我发现当我无法在概念上掌握某些东西时，想到为什么要使用X 有助于理解X.（不是说你没有尝试过，我只是设置舞台。）

[你知道的]对算法进行分类的常用方法是运行时，通过引用算法的大复杂性，你可以很好地估计哪一个是“更好” - 无论哪个有“最小的“功能在O！即使在现实世界中，O（N）比O（N²）“更好”，除非像超大质量常数等傻事。[/你知道的东西]

假设有一些在O（N）中运行的算法。很好，对吧？但是，让我们说你（你很聪明的人，你）想出一个在O（ ^N / _{loglogloglogN} ）中运行的算法。好极了！它更快！但是当你撰写论文时，你会一遍又一遍地写下傻傻的写作。所以你写了一次，你可以说“在本文中，我已经证明算法X，以前可以在时间O（N）中计算，实际上可以在o（n）中计算。”

因此，每个人都知道你的算法更快 - 有多少不清楚，但他们知道它更快。理论上。 ：）

Answer 4

一般

渐近符号是您可以理解的：缩小时函数如何比较？（测试这一点的一种好方法就是使用Desmos之类的工具并玩鼠标滚轮）。特别是：

• f(n) ∈ o(n)的意思是：在某一点上，您缩小得越多，f(n)将由n主导更多g(n)。
• g(n) ∈ Θ(n)的意思是：在某些时候，缩小不会改变n与h(n) ∈ O(n)的比较方式（如果我们删除轴上的刻度，您将无法知道缩放级别）。

最后h表示函数n可以属于这两种类别。当n增加时，它看起来可能很像n，也可能越来越小{{1}。基本上，f(n)和g(n)也在O(n)中。

在计算机科学中

在计算机科学中，人们通常会证明给定算法同时接受上限O和下限?。当两个边界都满足时，这意味着我们找到了一种渐近最优算法来解决该特定问题。

例如，如果我们证明算法的复杂度在O(n)和?(n)中，则意味着算法的复杂度在Θ(n)中。这就是Θ的定义，它或多或少地转化为“渐近相等”。这也意味着没有算法可以解决o(n)中的给定问题。再说一次，粗略地说“这个问题不能在少于n个步骤中解决”。

O(n)的上限只是意味着即使在最坏的情况下，该算法也将终止于最多n个步骤（忽略所有常数因子，包括乘法和加法）。 ?(n)的下限反过来意味着我们建立了一些示例，这些示例无法用少于n的步骤解决该算法所解决的问题（再次忽略乘法常数和加性常数）。步骤数最多为n，至少为n，因此此问题的复杂度为“恰好为n”。每次我们只是简短地写Θ(n)时，都不必说“忽略常数乘/加因子”。

Answer 5

大 O 表示法有一个称为小 O 表示法的伴侣。大 O 表示法表示一个函数渐近 no more than 另一个。要说一个函数渐近 less than 另一个函数，我们使用 small-o 表示法。 big-O 和 small-o 符号之间的区别类似于 <=（小于等于）和 <（小于）之间的区别。