Question

我有一个有趣的图论理论问题。我得到一个有三个节点和一组边的树T.当然，T是无向的。每条边都有权重，表示必须访问多少次（至少）。我们使用边缘从一个节点到另一个节点漫步，任务是找到满足上述条件的最少数量的所需步骤。我可以从任何节点开始。

例如，这棵树（括号中的边缘权重）：

1 - 2（1）

2 - 3（1）

3 - 4（2）

4 - 5（1）

4 - 6（1）

我们需要8步才能走这棵树。这是例如：1-> 2-> 3-> 4-> 3-> 4-> 5-> 4-> 6

我不知道如何处理这个算法。是否有可能找到这个最佳旅游，或者我们能不能直接找到这个最小数量？

Answer 1

在图表中添加与每条边的权重相对应的额外边。（即如果a-> b的权重为3，那么你的图表应包括a和b之间的3个无向边连接。）

然后你想要找到的东西在这张图上被称为欧拉踪迹。

可以关闭欧拉轨迹（如果开始==结束）或打开（如果开始！=结束）。

如果所有节点都具有均匀度，则存在已关闭的路径。

如果除2之外的所有节点都具有均匀度，则存在开放路径。

可以使用Fleury算法找到路径（如果速度太慢，也会存在更快的线性算法）。

如果您的图形不满足欧拉轨迹的要求，则只需添加最小数量的额外边缘，直到它为止。

这样做的一种方法是在树上执行深度优先搜索，并跟踪可以添加到每个子树的最小边数，以便它具有0,1或2个奇度顶点。这应该花费时间线性的树中的节点数。

示例代码

此Python代码计算图表的最短步骤数。（要构建图形，您应该将其视为带根图并为远离根的每条边添加边缘）

from collections import defaultdict
D=defaultdict(list)
D[1].append((2,1))
D[2].append((3,1))
D[3].append((4,2))
D[4].append((5,1))
D[4].append((6,1))
BIGNUM=100000

class Memoize:
    def __init__(self, fn):
        self.fn = fn
        self.memo = {}
    def __call__(self, *args):
        if not self.memo.has_key(args):
            self.memo[args] = self.fn(*args)
        return self.memo[args]

@Memoize
def min_odd(node,num_odd,odd,k):
    """Return minimum cost for num_odd (<=2) odd vertices in subtree centred at node, and using only children >=k

    odd is 1 if we have an odd number of edges into this node from already considered edges."""
    edges=D[node]
    if k==len(edges):
        # No more children to consider, and no choices to make
        if odd:
            return 0 if num_odd==1 else BIGNUM
        return 0 if num_odd==0 else BIGNUM

    # We decide whether to add another edge, and how many of the odd vertices to have coming from the subtree
    dest,w0 = edges[k]
    best = BIGNUM
    for extra in [0,1]:
        w = w0+extra
        for sub_odd in range(num_odd+1):
            best = min(best, w + min_odd(dest,sub_odd,w&1,0) + min_odd(node,num_odd-sub_odd,(odd+w)&1,k+1) )

    return best

root = 1
print min( min_odd(root,2,0,0),min_odd(root,0,0,0) )

图形行进算法

1 个答案:

示例代码