Question

前段时间我为我编程的游戏实现了Polynom近似。

我正在使用牛顿的金字塔方法。我花了很长时间来弄明白，但我的解决方案需要计算二项式系数，我还必须总结每个幂的最终系数的所有系数（因为解决这个问题类似于平方，立方体..术语和计算二项式系数）

例如：从生物学术语的n个中选出k并添加它们一个选择倍增
a *（x + b）（x + c）（x + d）==＆gt; a * x ^ 3 + a * x ^ 2 *（b + c + d）+ a * x（bc + bd + cd）+ a * b * c * d
所以b * c * d将是一个选择b * c和b * d

我现在的问题是：有没有办法用牛顿方案计算多项插值而不必计算所有的二元系数？

我的代码： https://github.com/superphil0/Polynominterpolation/blob/master/PolynomInterpolation.java

它的效果非常好，但是如果一个点得分过多则会相当慢因为选择了所有可以概括的术语

（我真的很难用英语解释这个，我希望有人能理解我想知道的事情）

欢呼声

Answer 1

从this description判断，我认为你的“金字塔方案”会产生系数 c _i ，这样多项式 p （ x ）可写为
p （ x ）= c ₀ +（ x - x ₀）（ c ₁ +（ x - x ₁）（ c ₂ +（ x - x ₂）（ c ₃ +（ x - x ₃）（ ......（ c _{n -1} +（ x - x _{ñ -1 ）
c _n）...））））}

现在，您可以从后面递归计算规范系数。从中开始 p _n = c _n

在每个步骤中，当前多项式可以写为
p _k = c _k +（ x - x _k ） p _{k +1} = c _k +（ x - x _k ）（ b ₀ + b ₁ x + b ₂ x < sup> 2 + ...）
假设下一个较小的多项式已经变成规范系数。

现在你可以使用那些系数 b <计算 p _k 的系数 a _i sub> i p _{k +1}。在严格的正式方式中，我必须使用索引而不是 a 和 b ，但我相信这样更清晰。那么下一个多项式的规范系数是什么？

a ₀ = c _k - x _k b <子> 0
a ₁ = b ₀ - x _k b <子> 1
a ₂ = b ₁ - x _k b <子> 2
...

您可以在循环中编写它，使用并重用单个数组a来保存系数：

double[] a = new double[n + 1]; // initialized to zeros
for (int k = n; k >= 0; --k) {
    for (int i = n - k; i > 0; --i)
        a[i] = a[i - 1] - x[k]*a[i];
    a[0] = c[k] - x[k]*a[0];
}

牛顿多项式的典型系数

1 个答案: