动态编程以找到最少数量的硬币

Question

我试图理解我作为我的硬件问题的一部分，但它看起来真的像中国......

假设我们有硬币x_1, x_2, x_3, ... x_n。总是x_1 = 1。 我们想用最少数量的硬币给一定数量的钱。 然后我们使用动态编程。

现在我不理解这一点 - c(i,j) = min { c(i-1,j), 1+c(i,j-x_i) } 其中c(i,j)是返回金额j的最小金额。

Answer 1

c(i,j-x_i)是仅使用硬币j-x_i获得值i,i+1,...,n的最小硬币数量（这是归纳假设，这是递归公式确保我们的）。
因此，1+c(i,j-x_i)是使用给定的一组硬币获得j-x_i的最小方法+一个价值x_i的额外硬币，我们决定使用它。

由此，c(i,j) = min { c(i-1,j), 1+c(i,j-x_i) }实际上是在详尽地选择“最好的”：

1. 拿走当前的硬币，然后递归检查其他小问题
2. 决定不接受它 - 并再次以递归方式检查较小的问题。

采取最低限度的措施可以确保我们（因为它在所有可能性方面都是彻底完成的）c(i,j)是最小的。