Question

我正在实现一个分段树，以便能够快速回答数组A中的以下查询：

查询i，j：范围（i，j）中所有元素的总和
更新i，j，k：将k添加到范围（i，j）中的所有元素

这是我的实施：

typedef long long intt;

const int max_num=100000,max_tree=4*max_num;
intt A[max_num],ST[max_tree];

void initialize(int node, int be, int en) {
  if(be==en) {
    ST[node]=ST[be];
  } else {
    initialize(2*node+1,be,(be+en)/2);
    initialize(2*node+2,(be+en)/2+1,en);

    ST[node]=ST[2*node+1]+ST[2*node+2];
  }
}

void upg(int node, int be, int en, int i, intt k) {
  if(be>i || en<i || be>en) return;
  if(be==en) {
    ST[node]+=k;
    return;
  }
  upg(2*node+1, be, (be+en)/2, i, k);
  upg(2*node+2, (be+en)/2+1, en, i, k);
  ST[node] = ST[2*node+1]+ST[2*node+2];
}

intt query(int node, int be, int en, int i, int j) {
  if(be>j || en<i) return -1;
  if(be>=i && en<=j) return ST[node];

  intt q1=query(2*node+1, be, (be+en)/2, i, j);
  intt q2=query(2*node+2, (be+en)/2+1, en, i, j);

  if(q1==-1) return q2;
  else if(q2==-1) return q1;
  else return q1+q2;
}

查询功能非常快，其复杂度为O（lg N），其中N为j-i。更新函数在平均情况下也很快，但是当j-i很大时，更新的复杂性是O（N lg N），这根本不快。

我搜索了一下这个主题，我发现如果我用延迟传播实现段树，查询和更新的复杂度就是O（lg N），它比O（N lg N）渐近快。

我还找到了另一个问题的链接，该问题有一个非常好的段树实现，它使用指针：How to implement segment trees with lazy propagation?。所以，这是我的问题：是否有更简单的方法来实现延迟传播，不使用指针，但使用数组索引，并且没有segment_tree数据结构？

Answer 1

这是我玩这个数据结构和一些模板tomfoolery。

在所有这些混乱的底部是访问两个平面数组，其中一个包含一个总和树，另一个包含一个携带值树，以便稍后传播。从概念上讲，它们形成了一个二叉树。

二叉树中节点的真值是存储和树中的值，加上节点下的叶数乘以从节点返回到根的所有进位树值的总和。

同时，树中每个节点的真实值等于其下每个叶节点的真值。

我编写了一个函数来执行进位和求和，因为事实证明它们正在访问相同的节点。阅读有时会写。因此，您可以通过调用increase零来获得总和。

所有模板tomfoolery都会对节点所在的每个树的偏移量以及左右子节点的位置进行数学计算。

虽然我使用struct，但struct是暂时的 - 它只是一个包装器，在数组的偏移量周围有一些预先计算的值。我存储了一个指向数组开头的指针，但每个block_ptr使用的是此程序中完全相同的root值。

对于调试，我有一些简洁的Assert（）和Debug（）宏，以及递归求和函数调用的跟踪函数（我用它来跟踪调用它的总数）。再一次，不必要地复杂以避免全球状态。：）

#include <memory>
#include <iostream>

// note that you need more than 2^30 space to fit this
enum {max_tier = 30};

typedef long long intt;

#define Assert(x) (!(x)?(std::cout << "ASSERT FAILED: (" << #x << ")\n"):(void*)0)
#define DEBUG(x) 

template<size_t tier, size_t count=0>
struct block_ptr
{
  enum {array_size = 1+block_ptr<tier-1>::array_size * 2};
  enum {range_size = block_ptr<tier-1>::range_size * 2};
  intt* root;
  size_t offset;
  size_t logical_offset;
  explicit block_ptr( intt* start, size_t index, size_t logical_loc=0 ):root(start),offset(index), logical_offset(logical_loc) {}
  intt& operator()() const
  {
    return root[offset];
  }
  block_ptr<tier-1> left() const
  {
    return block_ptr<tier-1>(root, offset+1, logical_offset);
  }
  block_ptr<tier-1> right() const
  {
    return block_ptr<tier-1>(root, offset+1+block_ptr<tier-1>::array_size, logical_offset+block_ptr<tier-1>::range_size);
  }
  enum {is_leaf=false};
};

template<>
struct block_ptr<0>
{
  enum {array_size = 1};
  enum {range_size = 1};
  enum {is_leaf=true};
  intt* root;
  size_t offset;
  size_t logical_offset;

  explicit block_ptr( intt* start, size_t index, size_t logical_loc=0 ):root(start),offset(index), logical_offset(logical_loc)
  {}
  intt& operator()() const
  {
    return root[offset];
  }
  // exists only to make some of the below code easier:
  block_ptr<0> left() const { Assert(false); return *this; }
  block_ptr<0> right() const { Assert(false); return *this; }
};


template<size_t tier>
void propogate_carry( block_ptr<tier> values, block_ptr<tier> carry )
{
  if (carry() != 0)
  {
    values() += carry() * block_ptr<tier>::range_size;
    if (!block_ptr<tier>::is_leaf)
    {
      carry.left()() += carry();
      carry.right()() += carry();
    }
    carry() = 0;
  }
}

// sums the values from begin to end, but not including end!
// ie, the half-open interval [begin, end) in the tree
// if increase is non-zero, increases those values by that much
// before returning it
template<size_t tier, typename trace>
intt query_or_modify( block_ptr<tier> values, block_ptr<tier> carry, int begin, int end, int increase=0, trace const& tr = [](){} )
{
  tr();
  DEBUG(
  std::cout << begin << " " << end << " " << increase << "\n";
  if (increase)
  {
    std::cout << "Increasing " << end-begin << " elements by " << increase << " starting at " << begin+values.offset << "\n";
  }
  else
  {
    std::cout << "Totaling " << end-begin << " elements starting at " << begin+values.logical_offset << "\n";
  }
  )
  if (end <= begin)
    return 0;
  size_t mid = block_ptr<tier>::range_size / 2;
  DEBUG( std::cout << "[" << values.logical_offset << ";" << values.logical_offset+mid << ";" << values.logical_offset+block_ptr<tier>::range_size << "]\n"; )
  // exatch math first:
  bool bExact = (begin == 0 && end >= block_ptr<tier>::range_size);
  if (block_ptr<tier>::is_leaf)
  {
    Assert(bExact);
  }
  bExact = bExact || block_ptr<tier>::is_leaf; // leaves are always exact
  if (bExact)
  {
    carry()+=increase;
    intt retval =  (values()+carry()*block_ptr<tier>::range_size);
    DEBUG( std::cout << "Exact sum is " << retval << "\n"; )
    return retval;
  }
  // we don't have an exact match.  Apply the carry and pass it down to children:
  propogate_carry(values, carry);
  values() += increase * end-begin;
  // Now delegate to children:
  if (begin >= mid)
  {
    DEBUG( std::cout << "Right:"; )
    intt retval = query_or_modify( values.right(), carry.right(), begin-mid, end-mid, increase, tr );
    DEBUG( std::cout << "Right sum is " << retval << "\n"; )
    return retval;
  }
  else if (end <= mid)
  {
    DEBUG( std::cout << "Left:"; )
    intt retval = query_or_modify( values.left(), carry.left(), begin, end, increase, tr );
    DEBUG( std::cout << "Left sum is " << retval << "\n"; )
    return retval;
  }
  else
  {
    DEBUG( std::cout << "Left:"; )
    intt left = query_or_modify( values.left(), carry.left(), begin, mid, increase, tr );
    DEBUG( std::cout << "Right:"; )
    intt right = query_or_modify( values.right(), carry.right(), 0, end-mid, increase, tr );
    DEBUG( std::cout << "Right sum is " << left << " and left sum is " << right << "\n"; )
    return left+right;
  }
}

以下是一些辅助类，可以轻松创建给定大小的分段树。但请注意，您只需要一个正确大小的数组，并且可以从指向元素0的指针构造一个block_ptr，并且您可以继续使用。

template<size_t tier>
struct segment_tree
{
  typedef block_ptr<tier> full_block_ptr;
  intt block[full_block_ptr::range_size];
  full_block_ptr root() { return full_block_ptr(&block[0],0); }
  void init()
  {
    std::fill_n( &block[0], size_t(full_block_ptr::range_size), 0 );
  }
};

template<size_t entries, size_t starting=0>
struct required_tier
{
  enum{ tier =
    block_ptr<starting>::array_size >= entries
    ?starting
    :required_tier<entries, starting+1>::tier
  };
  enum{ error =
    block_ptr<starting>::array_size >= entries
    ?false
    :required_tier<entries, starting+1>::error
  };
};

// max 2^30, to limit template generation.
template<size_t entries>
struct required_tier<entries, size_t(max_tier)>
{
  enum{ tier = 0 };
  enum{ error = true };
};

// really, these just exist to create an array of the correct size
typedef required_tier< 1000000 > how_big;

enum {tier = how_big::tier};


int main()
{
  segment_tree<tier> values;
  segment_tree<tier> increments;
  Assert(!how_big::error); // can be a static assert -- fails if the enum of max tier is too small for the number of entries you want
  values.init();
  increments.init();
  auto value_root = values.root();
  auto carry_root = increments.root();

  size_t count = 0;
  auto tracer = [&count](){count++;};
  intt zero = query_or_modify( value_root, carry_root, 0, 100000, 0, tracer );
  std::cout << "zero is " << zero << " in " << count << " steps\n";
  count = 0;
  Assert( zero == 0 );
  intt test2 = query_or_modify( value_root, carry_root, 0, 100, 10, tracer ); // increase everything from 0 to 100 by 10
  Assert(test2 == 1000);
  std::cout << "test2 is " << test2 << " in " << count << " steps \n";
  count = 0;
  intt test3 = query_or_modify( value_root, carry_root, 1, 1000, 0, tracer );
  Assert(test3 == 990);
  std::cout << "test3 is " << test3 << " in " << count << " steps\n";
  count = 0;
  intt test4 = query_or_modify( value_root, carry_root, 50, 5000, 87, tracer );
  Assert(test4 == 10*(100-50) + 87*(5000-50) );
  std::cout << "test4 is " << test4 << " in " << count << " steps\n";
  count = 0;
}

虽然这不是您想要的答案，但它可能会让某人更容易编写它。写这个让我很开心。所以，希望它有所帮助！

使用C ++ 0x编译器在Ideone.com上测试和编译代码。

Answer 2

延迟传播意味着仅在需要时进行更新。它是一种允许以渐近时间复杂度O（logN）执行范围更新的技术（这里N是范围）。

假设您要更新范围[0,15]，然后更新节点[0,15]并在节点中设置一个标志，表示要更新子节点（如果是，则使用标记值不使用标志）。

可能的压力测试案例：

0 1 100000

0 1 100000 ...重复Q次（其中Q = 99999），第100000次查询将

1 1 100000

在这种情况下，大多数实施人员只会翻转100000个硬币99999次，以便在最后和超时时回答一个简单的查询。

使用延迟传播，您只需要翻转节点[0,100000] 99999次并设置/取消设置其子项将要更新的标志。当询问实际查询本身时，您开始遍历其子项并开始翻转它们，将标志向下推并取消设置父标志。

哦，并确保你正在使用正确的I / O例程（scanf和printf而不是cin和cout，如果它的c ++）希望这能让你了解延迟传播的含义。更多信息：http://www.spoj.pl/forum/viewtopic.php?f=27&t=8296

如何实现具有延迟传播的分段树？

2 个答案: