Question

问题是，给定所有单元格为黑色或白色的矩阵，找到所有边界单元格为黑色的最大尺寸子矩阵（内部单元格不需要为黑色）。

目前，我充其量只能考虑O(N^4)解决方案。为此，我制作了两个辅助表，一个用于每个单元的每行中右边连续黑色单元的计数，另一个用于每个单元的该列中连续黑色单元的计数。然后我这样做：

for each row (i):
   for each cell (i,j):
     for each window (1..n-j):
       if auxrow[i,j+window]-auxrow[i,j] == window:   #so, all cells in this window is black
         colsleft = auxcol[i,j]
         colsright = auxcol[i,j+window]
         botttom_row = min(colsleft,colsright)
         for bot in (row..row+mincol):
            if auxrow[bot][j+window]-auxrow[bot][j] == window:
              maxlen = ... #do whatever to save this sub-matrix as answer

如何改进此解决方案？我在Topcoder看到了一些有趣的讨论，特别是Rem（O(N^2*log N)）的答案，以及Tomek提出的后续改进，但我无法理解这两种解决方案！有人可以提供比我更好的解决方案，或解释这些算法吗？

Answer 1

O（N ^ 3）是可能的。

对于每个单元格，计算顶部和右侧的连续黑色单元格（可以在O（N ^ 2）时间内完成。）

对于每一列（比如第i列），您将获得一个包含n个元素的数组，这些元素保留了正确的信息，例如R_i。

现在给定数组R_i，我们计算n个其他数组（所以Omega（N ^ 3）空间）如下：

对于每个d，使得1＆lt; = d＆lt; = n，你创建一个新的n个元素数组D_id，如果R_i中的对应值，即元素j，则n + 1，即R_i [j] ＆LT; d。如果R_i [j]> = d，则D_id中的对应条目将等于j。

基本上给定d和i，使用数组D_id，我们可以告诉第i列中的哪个单元格可能是宽度为d的矩形的端点。

现在预处理每个D_id以进行范围最小化查询：即给定范围[u，v]，我们可以在O（1）时间内找到子数组D_id [u ... v]中的最小值。

由于您为每列花费O（N ^ 2）时间，因此此步骤为O（N ^ 3）时间。

现在找到一个矩形，你可以考虑每一行并选择每一对可以用于矩形的一个边的点。将这些点视为矩形的左下角和右下角。

假设考虑的点在列i和j上，矩形的宽度为d。

现在找到矩形的最大可能高度（使用我们之前计算的顶部值）。说它是h。

现在，如果你考虑的行是r，你现在在范围（r，rh）上对D_id运行范围最小查询。如果最小值是＆lt; = n，那么你找到了一个矩形。

由于你会考虑N ^ 3个这样的可能对（每行N ^ 2个点），总运行时间为O（N ^ 3）。

查找边框上包含类似单元格的最大子矩阵

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