Question

我遇到了一些大问题的挑战。这些不是家庭作业问题。我正在写这些问题，以便更好地理解这里的概念。

function func(n)
{
     int k,i = 0;
     while(k < n){ < --- Guessing this outer loop is O(n/2)
        k = n + 2
        i = 0;
        while(i < k){ <--- Not sure what this is?
            i ++;
            i = i * i;
         }
      }         
}

如果你能向我解释内循环中发生了什么，以及你的逻辑最终会以最终结束的最大符号结束，我真的很喜欢它。

Answer 1

外部循环及其测试(k < n)及其步骤k = n + 2将运行一次，提供O（1）因子的复杂性。

内部循环有测试(i < k)，也就是(i < n+2)，并且步骤i++; i=i*i;最后，

i = (...(((1+1)^2+1)^2+1)^2+ ... )^2 > n+2`

使i的值超指数。也就是说，i在p遍中比exp（exp（p））增长得更快，因此总体复杂度小于O（log log n）。这比前面提到的O（log n）更严格，它也是一个上限，但不是那么紧。

Answer 2

第二个循环将i的值平方，直到达到k。如果我们忽略常量项，则此循环在O(log k)时间内运行。

为什么？因为如果您解决i^m = k，则会获得m = constant * log(k)。

正如你所说，外循环在O(n)时间运行。

由于k的较大值取决于n，您可以说内部循环在O(log n)中运行，这使您的整体复杂度为O(n log n)。

Answer 3

虽然@alestanis提供的内容对我而言比对评论中的那些更多准确分析这个问题，但我仍然认为这不是正确的。

让我们创建一个小的测试程序，打印出内循环产生的i的值：

#include <iostream>

void inner(double k) {
    double i;

    i = 0.0;
    while(i < k) {
        i ++;
        i = i * i;
        std::cout << i << "\n";
     }
}

int main() {
    inner(1e200);
    return 0;
}

当我运行时，我得到的结果是：

1
4
25
676
458329
2.10066e+011
4.41279e+022
1.94727e+045
3.79186e+090
1.43782e+181
1.#INF

如果迭代次数是对数的，那么达到特定数字的迭代次数应该与限制中的位数成比例。例如，如果它是对数的，它应该需要大约180次迭代才能达到1e181，给出或取一些（相当小的）常数因子。这显然不是这里的情况 - 通过用科学记数法查看结果的指数很容易看出，这大约是每次迭代的位数加倍，其中对数意味着每次迭代大致增加一位数。

我不是绝对肯定，但我相信将内循环放在O（log log N）而不仅仅是O（log N）。我认为很容易同意外部循环可能是O（N）（尽管它目前只执行一次），整体复杂度为O(N log log N)。

我觉得有必要从务实的角度来看，O(log log N)通常可以被视为基本上不变 - 如上所示，只能通过典型的双精度浮点数指定的最高限制11次迭代。因此，对于大多数实际目的，整体复杂性可以视为O(N)。

<哎呀 - 哎呀 - 没注意到我写这篇文章的时候他回答了，但是看起来@jwpat7已经达到了我所做的相同的结论。感谢他/她。]

大哦嵌套了

3 个答案: