计算图像积分

Question

如何从图像积分中找到平均值，标准偏差和渐变？给出如下图像：

如上图所示，要查找突出显示部分的总和，sum = C+A-B-D 所以我们有sum = 22。

我如何继续下去才能找到：

• 平均数
• Std dev
• 渐变

Answer 1

如果C + A-B-C是区域内所有灰度级的总和，那么均值

mean = C+A-B-D/4

但

mean = C+A-B-D/K

其中K是区域中的graylevels数。

此外，

dev = sqrt( C'+A'-B'-D'/4 - (mean*mean) )

不是stdev，因为

dev = sqrt( (1/N)*sum_N ( x_i - u )^2 )

这里的等式相当于

dev = sqrt( (1/N)*sum_N ( (x_i)^2 ) - u^2 )

这些等式不等同。

Answer 2

C+A-B-D为您提供A，B，C，D分隔的区域中灰度级的总和，以获得您需要按区域区域潜水的平均值：

mean = (C+A-B-D)/4

要获取dev，您必须计算 square 区域表的总和（使用cv::integral，您可以传递其他参数以获得平方和）。引用wikipedia，标准差等于（平方的平均值减去平均值的平方）的平方根。假设A'，B'，C'，D'是 square 区域表中的值：

dev = sqrt((C'+A'-B'-D')/4 - (mean*mean))

因此，使用积分图像计算平均值和使用积分图像非常快<非常，特别是如果您想在随机位置和随机尺寸的图像补丁上计算这些数量。

关于渐变，它更复杂。您确定不想使用sobel运营商吗？

Answer 3

jmch没有说的是，如果sqrt( C'+A'-B'-D'/K - (mean*mean) )不是你如何计算积分图像的标准偏差，那么你是如何做到的？

首先，让我切换到Python / numpy代码，这样我们就可以得到一些符号一致性，并且表达式更容易检查。给定一个样本数组X，比如说：

X = array([random() * 10.0 for i in range(0, 9)])

X的{​​{3}}可以定义为：

std = (sum((X - mean(X)) ** 2) / len(X)) ** 0.5 # 1

将uncorrected sample standard deviation应用于(X - mean(X)) ** 2我们得到：

std = (sum(X ** 2 - X * 2 * mean(X) + mean(X) ** 2) / len(X)) ** 0.5 # 2

鉴于求和操作的binomial theorem，我们可以：

std = ((sum(X ** 2) - 2 * mean(X) * sum(X) + len(X) * mean(X) ** 2) / len(X)) ** 0.5 # 3

如果我们提出S = sum(X)，S2 = sum(X ** 2)，M = mean(X)和N = len(X)，我们会：

std = ((S2 - 2 * M * S + N * M ** 2) / N) ** 0.5 # 4

现在可以从I计算图像P和两个积分图像P2和I（其中P2是平方像素值的积分图像） ，我们知道，给定四个边缘坐标A = (i0, j0)，B = (i0, j1)，C = (i1, j0)和D = (i1, j1)，S，S2，{的值可以针对M范围计算{1}}和N：

I[A:D]

然后可以将其应用于上面的等式（4），得到范围S = P[A] + P[D] - P[B] - P[C] S2 = P2[A] + P2[D] - P2[B] - P2[C] N = (i1 - i0) * (j1 - j0) M = S / N 的标准偏差。

编辑：这不是完全必要的，但考虑到I[A:D]，我们可以将以下替换和简化应用于等式（4）：

M = S / N

实际上，这与雷米给出的方程式非常接近。