如何在Mathematica中数值计算双积分？

Question

如何在Mathematica中以数字方式计算双积分？

Integrate[Exp[-0.099308 s]
       * Integrate[Exp[0.041657423 u] Exp[-3.1413 s + 3.12 u]
             * ((u/(s - u))^(1/2) BesselI[1,2 (u (s - u))^(1/2)]
             + 0.293 BesselI[0,2 (u (s - u))^(1/2)]),{u,0,s}],{s,0,10}]

Answer 1

两件事。首先，Integrate接受多个“迭代器”，即{x, x1, x2}，因此您可以指定多个积分而不嵌套它们，如下所示

Integrate[x y, {x, 0, 1}, {y, 0, x}]

将x y整合到由y == x，x == 0和x == 1限定的三角形上。注意，限制的顺序，它们从外部到内部，因此集成从右到左执行。然后，你的积分变为

Integrate[Exp[-0.099308 s] Exp[0.041657423 u] Exp[-3.1413 s + 3.12 u]
   * ((u/(s - u))^(1/2) BesselI[1,2 (u (s - u))^(1/2)]
   + 0.293 BesselI[0,2 (u (s - u))^(1/2)]),
 {s,0,10}, {u,0,s}]

其次，Mathematica与其标准算法有许多数字等价物，如NSolve，NDSolve，NSum和NIntegrate。它们都可以通过前导N识别，它本身也是function。关于这些函数的好处是它们具有与它们的分析等价物相同的签名。因此，要以数字方式整合积分，只需将Integrate更改为NIntegrate，如下所示

NIntegrate[Exp[-0.099308 s] Exp[0.041657423 u] Exp[-3.1413 s + 3.12 u]
   * ((u/(s - u))^(1/2) BesselI[1,2 (u (s - u))^(1/2)]
   + 0.293 BesselI[0,2 (u (s - u))^(1/2)]),
 {s,0,10}, {u,0,s}]

如tkott所示，

提供27.4182，但未生成任何警告。

Answer 2

如果您希望在Mathematica中以数字方式集成某些内容，则应使用NIntegrate。这将给出一个数值近似而不是定积分。

NIntegrate[ Exp[-0.099308*s]*
  NIntegrate[Exp[0.041657423*u]*(Exp[-3.1413*s + 3.12*u])*((u/(s - u))^(1/2)*
       BesselI[1, 2*(u*(s - u))^(1/2)] + 0.293*BesselI[0, 2*(u*(s - u))^(1/2)])
  , {u, 0, s}]
, {s, 0, 10}]

它抱怨是因为内部集成首先被评估，如果没有指定s就无法评估，但是给出了

27.4182

不知道这是否正确！

BTW：您可能会在https://mathematica.stackexchange.com/

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