Question

我的工作需要在14天内完成。我有5个工人。有一天需要3名工人。每个工人最多只能工作9天。每个工人都有自己的日常偏好，每个工人每天都有不同的成本。

现在，我如何在数学术语中解决这个问题？如何找到工人分配的最低成本？

我不认为这是分配问题，因为匈牙利算法的设计使得我只能找到1对1的分配。（在这种情况下，1名工人1天）

Answer 1

你需要解决这个问题的是 IP（整数编程）公式。你的直觉是正确的，这与任务问题非常相似 - 我们基本上是指派工人去做某些工作天。

以下是制定问题的步骤：

决策变量 :(英文）哪个工作在哪几天工作？

让我们标记日期 t （1..14）工人 w1到w5 。

所以，

X_wt = 1 if worker w works on day t

X_wt = 0 otherwise

这些约束现在相当简单地写下来了。每天只需要3名工人。

X_1t + X_2t + X_3t + X_4t + X_5t = 3 for each t (1..14)

每个工人最多可以工作9天：

(sum over t=1..14) X_wt <= 9 for each w (1..5)

最后，目标函数：

让C_wt成为第t天雇佣工人的成本。双重求和：

Min (sum over w 1..5)(sum over t 1..14) C_wt

为了适应工人的偏好，您可以将另一组费用分层，例如P_wt。

这是基本的表述。然后，您将需要IP / LP解算器（例如CPLEX或Excel Solver或R的optim库）来获得实际解决方案。

希望有所帮助。

Answer 2

这可以解决为二分图上的minimum-cost network-flow问题。每个工人代表一个供应9个单位的来源，每天代表一个需求为3的汇。每个供应和需求之间的弧都有容量1，并且相应于他们的偏好当天关闭的成本。如果沿着弧线流动，那意味着特定的工人当天应该工作。

虽然这不能用匈牙利方法解决，但有几种快速算法，包括network simplex。

代数，配方是

minimize sum_w sum_d p_wd x_wd
subject to
\sum_w x_wd = 3    forall d
\sum_d x_wd <= 5   forall w

如果p_wd是工作人员对第d天的偏好。这是一个totally unimodular约束矩阵，因此它不需要混合整数解算器。

Answer 3

它可能是bin-packing和tsp问题。寻找容量的车辆路线问题。它有许多问题，但你有3个工人。在容量车辆路由中有x个工人。它认为你需要更多的信息。