Question

想象一下，我是一家面包店，试图通过我有限数量的原料来最大限度地增加馅料的数量。

以下每个饼图配方A, B, C, and D都会生成1个饼图：

A = i + j + k
B = t + z
C = 2z
D = 2j + 2k

*食谱总是有线性形式，如上所述。

我有以下成分：

4 of i
5 of z
4 of j
2 of k
1 of t

我想要一种算法来最大化我的馅饼产量，因为我的成分有限。

这些示例输入的最佳解决方案将产生以下数量的馅饼：

2 x A
1 x B
2 x C
0 x D
= a total of 5 pies

我可以通过采用所有组合的最大生产者，但数量来轻松解决这个问题随着成分的数量增加，组合变得令人望而却步。我觉得必须有是这种优化问题的概括，我只是不知道从哪里开始。

虽然我只能烘烤整个馅饼，但我仍然有兴趣看到一种可能产生非整数结果的方法。

Answer 1

您可以定义linear programming问题。我将在示例中显示用法，但它当然可以推广到任何数据。

将您的馅饼表示为您的变量（x1 = A，x2 = B，...），LP问题如下：

maximize x1 + x2 + x3 + x4
s.t. x1 <= 4  (needed i's)
     x1 + 2x4 <= 4 (needed j's)
     x1 + 2x4 <= 2 (needed k's)
     x2 <= 1 (needed t's)
     x2 + 2x3 <= 5 (needed z's)
and x1,x2,x3,x4 >= 0

这个问题的分数解可以多项式求解，但整数线性规划是NP-Complete。

问题确实是NP-Complete，因为给出integer linear programming问题，您可以使用相同的方法将问题减少到“最大化馅饼数量”，其中每个约束都是馅饼中的一个成分而变量是馅饼的数量。

对于整数问题 - 如果你可以使用“接近某个边界”，文献中有很多近似技术，（例如local ratio technique或primal-dual是经常使用）或者如果你需要一个精确的解决方案 - 指数解决方案可能是你最好的解决方案。（当然，除非P=NP）

Answer 2

由于你的所有函数都是线性的，听起来你正在寻找linear programming（如果连续值是可接受的）或integer programming（如果你需要你的变量是整数）。

线性编程是一种标准技术，可以有效解决。执行此操作的传统算法是simplex method。

整数编程通常是难以处理的，因为添加整数约束允许它描述难以处理的组合问题。似乎有大量的近似技术（例如，您可能只是尝试使用常规线性编程来查看可以获得的内容），但当然它们取决于问题的具体性质。

多变量函数和的优化

2 个答案: