用于基于相邻节点计算节点值的图算法

Question

我想制作一个更新/计算的图算法 节点f(n)的值作为每个f(n)值的函数 邻近节点。

• 图表是直接的。
• 每个节点都有初始f（n）值。
• 每条边都没有成本（0）。
• 每个节点的值是其当前值的最大值 每个相邻节点的值（有向图，所以邻居是那些 从节点有传入边缘的地方）。

更正式，

f(n) = max(f(n),max_i(f(n_i))), where i from neighbor 1 to neighbor k.

我可以想象一下这样做的几种方法，但我不知道到底有多远 它们是最佳的。

任何人都可以提出建议和评论（你是否认为 你的建议是最优的）或建议我能适应的任何现有的图算法？

Answer 1

<强>要求：

1. 在图表中的每个Strongly Connected Component V中，此SCC中所有顶点的值具有相同的最终得分。
   “证明”（指南）：通过在此SCC中进行传播，您可以迭代地将所有分数设置为此SCC中找到的最大值。

2. 在DAG中，每个顶点的值为max{v,parent(v) | for all parents of v}（定义），并且可以在从开始到结束的单次迭代中找到分数。
   “证据”（准则）：没有“后边缘”，所以如果你知道所有父母的最终值，你就知道每个顶点的最终值。通过归纳（基础是所有来源） - 您可以了解单次迭代足以确定最终得分的事实。

3. 此外，已知图表G'代表a的SCC 图g是DAG。

从上面我们可以推导出一个简单的算法：

1. 图中的最大SCC（可以使用Tarjan algorithm完成），并创建SCC图。设为G'。请注意，G'是DAG。
2. 对于每个SCC V：设置f'(V) = max{v | v in V}（直观地 - 将每个SCC的值设置为此SCC中的最大值）。
3. Topological sort图表G'。
4. 根据（3）中的拓扑排序进行单次遍历 - 并根据其父项计算G'中每个顶点的f'（V）。
5. 设置f(v) = f'(V)（其中v在SCC V中）

<强>复杂度：

1. Tarjan和创建G'是O(V+E)
2. 查找f'与图表的大小呈线性关系 - O(V+E)
3. 拓扑排序在O(V+E)
中运行
4. 单遍历 - 线性：O(V+E)
5. 给出最终得分：线性！

所以上面的算法在图表的大小上是线性的 - O(V+E)