多少次我需要选择随机数[1，N]来获得特定的数字k

Question

我正在努力证明一些关于概率和统计的东西。

我需要从[1，N]中选择一个随机数来获取特定数字k，其中k在[1，N]中

start = random(1,N);
count = 1;
do
{
   end = random(1,N);
   count++;
}while (start!=end);

我的实验得出结论，如果我重复上述程序100次以获得相同的N值，那么计数的平均值为N.我不知道如何在理论上证明这一点。

任何人都可以帮助我证明这一点。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

每当您在1和N之间选择一个随机数时，您获得k的概率等于1/N ，以及得到不同的概率，等于(N-1)/N。

一旦你知道这一点，就可以计算获得k的可能性：

• 1 shot：P1 = 1/N
• 2枪：P2 = (N-1)/N * 1/N
• 3枪：P3 = (N-1/N * (N-1)/N * 1/N
• ...

为了获得k，您必须选择随机数的预期次数为：

1 * P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4...

这是一个收敛于值N的系列。