使用强连接组件Algo作为周期检测

Question

据我所知，如果一组顶点是强连通分量的一部分，那么组件中的所有顶点都可以相互到达;一个循环。

现在，我想使用这个事实并声称如果图G =（V，E）有一个周期，那么该周期必须在scc内。

换句话说，所有周期都必须是scc的一部分（我的主张）。

我无法想到我的主张的任何反例，所以我想知道图表中是否有任何不属于scc的周期。
要么 是我的主张，对吗？

Answer 1

这是对的。如果一组顶点在一个循环中，那么它们都可以相互到达（通过循环），因此它们是SCC的定义。

话虽如此，这并不是一个编程问题：）

Answer 2

设e =（u，v）为有问题的边缘。我们注意到，这是一个包含e的循环，只有当前 如果你在G {e}连接到v。 我们的算法仅在G {e}上从u运行DFS，如果v可从u到达则输出yes 否则没有。 当DFS以线性时间运行时，该算法以线性时间运行（并且我们仅运行部分算法 DFS算法查找包含u）的组件。这个算法显然是正确的。 如果u通过某个路径p连接到G {e}中的v，我们可以将边e添加到p以形成循环。 否则，从G中删除e会断开u和v。