查找总和小于给定数组的最大数组数

Question

给定长度为n的数组x和一组数组S使得S中的每个数组具有长度n，在S中找到数组G的最大尺寸集合，使得对于所有1＆lt; = i＆lt; = n ，x [i]＆gt; = G中所有g的总和（g [i]）。

e.x。如果x = [3,3]且S = {[3,0]，[1,1]，[2,1]}，则最佳集合为{[1,1]，[2,1]}，因为和为[3,2]，每个索引处的元素小于x中的对应元素。 {[3,0]，[1,1]}不起作用，因为总和是[4,1]，并且4> x [0] = 3。

是否存在运算时间为n且| S |？

的多项式的算法

背景/上下文： 这个问题来自一个关于拼字游戏的问题。给定一个瓷砖列表和一个单词，你能用瓷砖形成这个单词吗？我将它扩展为给定一个瓦片列表和一个单词列表，列表中可以从瓦片中形成的最大单词数是多少？

Answer 1

这是multi-dimensional knapsack problem。

为证明在n和|S|中都没有算法，多项式时间（或证明这是Strongly NP-hard problem），请简化此问题，仅允许值{ {1}}表示数组1，数值x或0表示数组1。在这种简化之后，我们得到了Set packing的优化版本，这是一个经典的NP完全问题。

与集合打包问题的关系表明，也没有良好的近似算法。

这留下了非常有限的算法选择：

1. Branch-and-bound。
2. Integer linear programming。
3. Metaheuristic algorithms，例如Simulated annealing或Tabu search。