Question

这是一个基于查找最大嵌套间隔集大小的问题。

有许多区间，每个区间由包含起点和终点（si，ei）的对定义。如果i2完全位于i1内，则两个间隔i1和i2称为嵌套。示例： - （2,6）和（3,4）是嵌套的，因为（3,4）是（2,6）的一部分。类似地，k个区间i1，i2，i3 ...... ik被称为嵌套，如果，i2位于i1内，i3位于i2内，......等等。根据给定的间隔确定最大间隔集的大小，以便该集合中的所有间隔都可以生成嵌套。

我按照以下方式思考： - 让我们采取例如 - （0,7）（0,5）（1,21）（1,9）（2,8）（2,4）（3， 20）（4,16）（5,15）（6,21）按照a [i-1]＆lt; = a [i]＆amp;＆amp; b [i-1]＆gt; = b [i]从第一个区间开始我们开始一个链表..如果下一个区间进入一个区间，我们向下移动节点并遍历在节点下创建的图形（除了主list）..我们将最大级别节点的指针存储在此图中新间隔可以适合的位置..并在链表中进一步遍历以查看当前间隔来自谁...最后我们有一个指向节点的指针我们必须附加当前间隔..并将此节点的级别与我们已有的最大级别进行比较.....最大级别的最终值是设置的最大嵌套间隔的大小。

上述解决方案的复杂性很可能是： - O（n（k + l）+ nlogn）

我想这很难得到它，但我没有其他选择...如果有人有任何其他算法来解决它...请发布因为我的算法需要更长的时间来实现（很多数据结构）参与）...谢谢!!!

Answer 1

编辑：问题的一些解决方案已发布here，其中包括两个声称为O（n lg n）的解决方案。但是，我不认为O（n lg n）解决方案有效。我在该页面上发表评论，说明原因。如果有人有O（n lg n）解决方案，我很乐意听到。

二次解决方案

使用动态编程可以在O（n ^ 2）时间内解决此问题：

计算每个间隔包含的间隔数（可以使用两个嵌套循环完成）
按所包含间隔数的升序对间隔进行排序
使用重复MaxNestedIntervals来解决问题

*注：步骤1可以使用此处的解决方案在O（n lg n）时间内完成：Sub O(n^2) algorithm for counting nested intervals? 可以使用任何基于比较的最佳排序算法在O（n lg n）时间内完成步骤2。可能有一种方法可以优化第3步，但我还没有找到它。

<强>复发

MaxNestedIntervals(i) =
    max {j = 0 to i-1} :
        1 + MaxNestedIntervals(j)    if interval i contains interval j
        0                            if interval i doesn't contain interval j

基本情况

MaxNestedIntervals(i) =
    0    if interval i contains 0 intervals
    1    if interval i contains 1 interval

示例代码

import java.util.*;

public class MaxNestedIntervals {
    public static void main(String[] args) {
        Interval[] intervals = new Interval[10];
        intervals[0] = new Interval(0, 7);
        intervals[1] = new Interval(0, 5);
        intervals[2] = new Interval(1, 21);
        intervals[3] = new Interval(1, 9);
        intervals[4] = new Interval(2, 8);
        intervals[5] = new Interval(2, 4);
        intervals[6] = new Interval(3, 20);
        intervals[7] = new Interval(4,16);
        intervals[8] = new Interval(5,15);
        intervals[9] = new Interval(6,21);

        int n = intervals.length;
        AugmentedInterval[] augmentedIntervals = new AugmentedInterval[n];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            augmentedIntervals[i] = new AugmentedInterval(intervals[i]);
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            AugmentedInterval outerInterval = augmentedIntervals[i];

            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i == j) {
                    continue;
                }

                AugmentedInterval innerInterval = augmentedIntervals[j];

                if (outerInterval.contains(innerInterval)) {
                    outerInterval.numContainedIntervals++;

                    if (outerInterval.childInterval == null) {
                        outerInterval.childInterval = innerInterval;
                    }
                }
            }
        }

        Arrays.sort(augmentedIntervals, new Comparator<AugmentedInterval>() {
            public int compare(AugmentedInterval i, AugmentedInterval j) {
                return i.numContainedIntervals - j.numContainedIntervals;
            }
        });

        int maxNestedIntervals = 0;
        AugmentedInterval parentInterval = null;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            AugmentedInterval currentInterval = augmentedIntervals[i];

            if (currentInterval.numContainedIntervals == 0) {
                currentInterval.maxNestedIntervals = 0;
            } else if (currentInterval.numContainedIntervals == 1) {
                currentInterval.maxNestedIntervals = 1;
            } else {
                int maxNestedIntervalsForCurrentInterval = 0;

                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    AugmentedInterval candidateNestedInterval = augmentedIntervals[j];
                    int maxNestedIntervalsForCurrentCandidate = candidateNestedInterval.maxNestedIntervals + 1;

                    if (currentInterval.contains(candidateNestedInterval) && maxNestedIntervalsForCurrentCandidate >= maxNestedIntervalsForCurrentInterval) {
                        maxNestedIntervalsForCurrentInterval = maxNestedIntervalsForCurrentCandidate;
                        currentInterval.childInterval = candidateNestedInterval;
                    }
                }

                currentInterval.maxNestedIntervals = maxNestedIntervalsForCurrentInterval;

                if (maxNestedIntervalsForCurrentInterval >= maxNestedIntervals) {
                    maxNestedIntervals = maxNestedIntervalsForCurrentInterval;
                    parentInterval = currentInterval;
                }
            }
        }

        if (n == 0) {
            System.out.println("The largest set of nested intervals is the empty set.");
        } else if (maxNestedIntervals == 0) {
            System.out.println("The largest set of nested intervals has 1 interval.\n");
            System.out.println("That interval is:");
        } else {
            System.out.println("The largest set of nested intervals has " + (maxNestedIntervals + 1) + " intervals.\n");
            System.out.println("Those intervals are:");
        }

        for (AugmentedInterval currentInterval = parentInterval; currentInterval != null; currentInterval = currentInterval.childInterval) {
            System.out.println(currentInterval);
        }

        System.out.println();
    }

    private static class Interval implements Comparable<Interval> {
        public int start = 0;
        public int end = 0;

        public Interval(int start, int end) {
            this.start = start;
            this.end = end;
        }

        public int size() {
            return this.end - this.start;
        }

        public boolean contains(Interval other) {
            return (this.start <= other.start && this.end >= other.end);
        }

        public int compareTo(Interval other) {
            return this.size() - other.size();
        }

        public String toString() {
            return "[" + this.start + ", " + this.end + "]";
        }
    }

    private static class AugmentedInterval extends Interval {
        public int numContainedIntervals = 0;
        public int maxNestedIntervals = 0;
        public AugmentedInterval childInterval = null;

        public AugmentedInterval(Interval interval) {
            super(interval.start, interval.end);
        }
    }
}

最大嵌套间隔集

1 个答案: