Question

如果我想解决一个完整的上三角系统，我可以调用linsolve(A,b,'UT')。但是稀疏矩阵目前不支持此功能。我怎么能克服这个？

Answer 1

UT和LT系统是最容易解决的系统之一。请阅读on the wiki。知道了这一点，很容易编写自己的UT或LT求解器：

%# some example data
A = sparse( triu(rand(100)) );
b = rand(100,1);

%# solve UT system by back substitution    
x = zeros(size(b));
for n = size(A,1):-1:1    
    x(n) = (b(n) - A(n,n+1:end)*x(n+1:end) ) / A(n,n);    
end

LT系统的程序非常相似。

话虽如此，使用Matlab的反斜杠运算符通常更容易，更快：

x = A\b

np已经表明，它也适用于备件矩阵。

请注意，此运算符还可以解决具有非正方形A的UT系统，或者如果A在主对角线上具有等于零（或< eps）的某些元素。它以最小二乘意义解决了这些情况，这对您来说可能是也可能不是。在执行求解之前，您可以检查这些案例：

if size(A,1)==size(A,2) && all(abs(diag(A)) > eps)
    x = A\b;
else
    %# error, warning, whatever you want
end

通过键入

了解有关（反向）斜杠运算符的更多信息

>> help \

或

>> help slash

在Matlab命令提示符上。

Answer 2

编辑由于您需要的是三角形求解过程，也称为向后/向前替换，您可以使用普通的MATLAB反斜杠\运算符：

x = U\b

正如原始答案中所提到的，MATLAB将认识到矩阵是三角形的。为确保这一点，您可以将效果与SuiteSparse中的cs_usolve程序进行比较。它是一个用C实现的mex函数，用于计算上三角稀疏矩阵的稀疏三角形求解（也有相似的函数：cs_lsolve，cs_utsolve和cs_ltsolve）。

在稀疏Cholesky分解的上下文中，您可以查看performance comparison本机MATLAB和cs_l(t)solve。从本质上讲，MATLAB的性能很好。唯一的缺陷是如果你想解决一个转置系统

x = U'\b

MATLAB 不识别并明确创建U的转置。在这种情况下，您应该明确地致电cs_utsolve。

原始答案如果您的系统是对称的，并且您只存储上三角矩阵部分（这就是我在您的问题中理解完整的方式），并且如果Cholesky分解是适合你，chol处理对称矩阵，如果你的矩阵是正定的。对于无限矩阵，您可以使用ldl。两者都处理稀疏存储并处理对称矩阵部分。

较新的matlab版本使用cholmod and suitesparse。这是迄今为止我所知道的表现最佳的Cholesky分解。在matlab中，它也可以并行使用并行BALS。

从上述函数中获得的因子是上三角矩阵L，使得

A=LL'

现在你需要做的就是执行前向和后向替换，这很简单又便宜。在matlab中，这是在反斜杠操作符

中自动完成的

x=L'\(L\b)

矩阵可以是稀疏的，matlab会识别它是上/下三角形。您还可以将此调用与使用cholesky分解所获得的因子的前向替换一起使用。

Answer 3

你可以在稀疏矩阵上使用MLDIVIDE（\）或MRDIVIDE（/）运算符......

解决稀疏上三角系统

3 个答案:

解决*稀疏*上三角系统

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解决稀疏上三角系统