在Matlab中求解稀疏三角形线性系统

Question

我在Matlab中实现了LU分解算法，用于解决线性系统的一些大型稀疏矩阵。当我得到L，U矩阵时，我使用了后向替换和前向替换算法来求解三角形线性系统：

    %x = U\y;

for i = n : -1 : 1
    x(i,:) = (y(i,:)-U(i,:)*x)/U(i,i);
end

但我发现这个代码是瓶颈。虽然我可以使用A \ b来获得解决方案，但我想知道如何在Matlab中实现一个有效的算法来解决这个问题，例如，我可以编写矩阵产品来模拟以下操作而不用for循环吗？

（我有一些参考书和论文，但所有代码都不在Matlab中，仅用于C ++或C代码）

Answer 1

首先关闭：正确性在速度之前;你发布的循环会从U\y生成不同的结果，所以你可能想先检查一下:)

AFAIK，反斜杠对输入矩阵进行一些检查，并相应地调用最快的算法。当这些检查表明A低于三角形时，它将完全按照您的方式执行（但可能更高效）。

无论如何，要加速你的代码：你应该预先分配x，否则Matlab会在每次迭代时强制增长向量。另外，调用循环变量ii - i是虚数单位，每次迭代时的名称解析需要一些时间。所以，总结一下：

x = zeros(size(y));
for ii = n : -1 : 1
    x(ii,:) = (y(ii,:)-U(ii,:)*x)/U(ii,ii);
end

请注意，没有“矢量化”解决方案，因为下一个结果取决于前一个。