Question

我正在尝试从有向无环图创建强连通组件。

输入是表格中的边缘列表

1 2
3 5
etc

我需要创建一个最小边缘集的出点，将其添加到给定图形中，以生成强连接组件的图形....

有什么想法吗？

以下是我正在寻找的一个例子：

鉴于输入：

输出将是添加创建强连接组件所需的最小边数。

输出：

Answer 1

假设图中没有孤立的顶点，您只需要添加max（| sources |，| sinks |）边以使其强连接。

设T = {t ₁，...，t _n}为汇，{s ₁，...，s _m}是DAG的来源。假设n <= m。（另一种情况非常相似）。考虑如下定义的两组之间的二分图G（T，S）。 G（T，S）有一个边（t _i，s _j）当且仅当从s i 时>Ĵ

令M为G（T，S）中的最大匹配。不失一般性假设M由k个边组成：{（t ₁，s ₁），（t ₂，s _{2 ），...，（T <子>ķ，S <子>ķ）}。在原始图DAG G中，添加有向边{（t ₁ - > s ₂），（t ₂ - ＆gt; s <子> 3 ），...，（T <子> K-1 - ＆GT; S <子>ķ），（T <子>ķ - ＆GT ; S <子> 1 ）}。很容易看出，通过添加这些边，M引起的顶点在G中强烈连接。}

现在考虑G（T，S）中的剩余顶点。因为M maximal，S-M（相应的T-M）中的每个顶点应该连接到T中的顶点（相应的S-M）。所以我们任意配对剩余的顶点，比如{（t _{k + 1}，s _{k + 1}），...，（t _n， s _n）}并在G中添加相应的有向边。对于每个剩余的源顶点源s _i（我属于{n + 1，...，m}，我们添加G中的边（t ₁ - > s _i）因此，添加的边总数为max（| sources |，| sinks |）。

编辑：添加几个示例

输入中的示例。我们先计算一个最大匹配，比如说：

3--1
4--2
7--5
8--6

所以我们添加边缘：

3->2
4->5
7->6
8->1

匹配中不存在的剩余（接收器）顶点是9，因此我们将弧从9添加到匹配中的任何源顶点，比如9->1。

这是另一个说明算法所有步骤的例子：

输入图表：

12 3   5    9 10  (sources)
\|/   /|\    \/
 4   6 7 8   11   (sinks)

最大匹配：

4--1
6--5
11--9

所以我们添加边缘：

4->5
6->9
11->1

现在剩下的接收器为{7, 8}，其余来源为{2, 3, 10}。我们任意配对7说2和8说3并添加：

7->2
8->3

最后，剩下的（源）顶点是10，我们添加：

4->10

Answer 2

如果我正确理解了您的问题，您应该使用图表的Adjacency Matrix表示。最初，它将是一个稀疏矩阵，其中包含1s或者当前边缘的位置。

使用矩阵的简单遍历，所有0个元素 - ＆gt; 1您需要创建SCC，并且每个转换都将是您需要添加的边缘。

还有一个很好的维基页面，显示了可能的流行算法：

http://en.wikipedia.org/wiki/Strongly_connected_component

它建议Tarjan's和Path-based算法是最实用的。

从DAG创建强连接组件

2 个答案: