两个顶点之间的最长路径

Question

我有一个带加权边的有向图（权重都是正数）。

现在，我正在寻找一种有效的算法或代码（特别是C＃）来找到两个给定顶点之间的最长路径。

Answer 1

这完全等同于具有所有负权重的最短路径算法。要做到这一点，你需要验证没有负重量循环（在你的原始情况下可能相当于验证没有正重量循环）。最好的办法是采用权重的加法逆运算并运行Bellman-Ford，然后取结果的加法逆。

Answer 2

大卫·伯格的答案是正确的，除非你的意思是一条简单的路径，每个顶点最多只能出现一次，在这种情况下，贝尔曼 - 福特不会给出最长的路径。由于您说权重是正数，因此当图形具有循环（可从源到达）时，不可能存在最长路径，除非您的意思是简单路径。最长的简单路径问题是NP完全。请参阅Wikipedia。

因此，我们假设您的意思是有向无环图（DAG）。在线性时间内，您可以计算从起始顶点到每个顶点v的最长路径，假设您知道每个u的最长路径，对于每个u，其中u-> v直接。这很简单 - 您可以在有向图上进行深度优先搜索，并以与访问它们相反的顺序计算顶点的最长路径。您还可以使用3色标记检测整个DFS的后边缘（已打开但未完成的顶点为灰色）。有关详细信息，请再次参阅Wikipedia。 DAG上的最长/最短路径查找有时被称为维特比算法（即使假定特定类型的DAG给出它）。

我首先尝试线性时间动态编程解决方案。如果你确实有周期，那么Bellman-Ford无论如何都无法解决你的问题。

Answer 3

请参考QuickGraph project，因为它提供了实现图形的.NET数据结构，并提供了对这些数据结构进行操作的算法。我确定您要查找的算法是在库中实现的。

Answer 4

以防它帮助任何人，因为我正在寻找这一段时间但却找不到它，我使用QuickGraph解决了一个问题，我必须找到一条也符合条件的最长路径某种规则。它不是很优雅，因为我在得到第一个结果后对蛮力做了一点，但现在就是。

https://github.com/ndsrf/random/blob/master/LongestSkiPath/LongestSkiPath/SkiingResolver.cs#L129-L161

要获得最长路径，请使用算法查找长度为lenghts = -1的最短路径。然后找到后续最长的路径，我开始从那个最长的路径中删除边缘，看看我是否设法得到一个“更好”（基于问题的条件）最长的路径。