计算联合分布的一部分的概率

Question

考虑到我有两个独立的正态随机变量的连续联合分布（让我们假设独立的变量在X轴和Z轴上，而从属 - 联合概率 - 在Y轴上），我有一条线在XZ平面上的任何地方，我如何计算一个点落在该线的一侧或另一侧的概率？

Answer 1

首先移动所有内容，使两个正态分布（X和Z）以零为中心;现在联合分配将是一个以起源为中心的山丘。

现在缩放其中一个轴，使两个分布具有相同的方差（或“宽度”）。现在联合概率应该是一个旋转对称的山。

现在重要的是这条线与原点有多接近。围绕原点旋转（这将使联合概率保持不变），直到该线平行于其中一个轴，比如Z.现在，您要求随机点的X大于或小于X值的概率这条线。这是由一个缩放的ditribution函数决定的（它们是相同的），并且可以通过误差函数计算。

如果有用，我可以写出数学。

编辑：我会尝试写出最后一步。请原谅我的原始ascii，我无法获得一个好的数学平板电脑。

假设我们已经对分布进行了缩放和居中，以便sigmaX = sigmaZ = 1，并旋转所有内容：

joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)

line: x = c

现在找出一个随机点在某个x和x + dx之间的狭窄“垂直”条带上的概率：

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

但这与两个正态分布中的一个相同。因此，随机点位于该行左侧的概率为

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
       = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))