困难算法：1的最优解

Question

这是那些困难的算法之一，因为有很多选择。想象一个数字＆＃39; N＆＃39;和一组10岁以下的素数，即{2,3,5,7}。目标是保持N分，直到达到1.如果在任何步骤N不能被任何给定的素数整除，那么你可以进行以下操作：

i）N = N-1 或ii）N = N + 1

这将确保N是偶数，我们可以继续。

应该在使用最少数量的操作时实现目标。

请注意，这可能听起来微不足道，即你可以在你的算法中实现一个步骤，如果N可以被任何素数整除，那么将它除去＆＃34;。但这并不总能产生最佳解决方案

E.g。如果N = 134：现在134可以除以2.如果除以2，则得到67. 67不能被任何素数整除，所以你做一个操作，N将是66/68，这两个都需要另一个操作。总共2次操作。

或者，如果N = 134并且您进行操作N = N + 1，即N = 135，在这种情况下，达到1所需的总操作是1.因此这是最佳解决方案

Answer 1

除非针对此问题有一些数学解决方案（如果您正在寻找数学解决方案，math.SE更适合此问题） - 您可以将问题减少到shortest path problem < /强>

将问题表示为图G=(V,E)，其中V = N（所有自然数）和E = {(u,v) | you can get from u to v in a single step } ¹ 。

现在，您需要从源（输入数字）到目标（数字1）运行经典搜索算法。获得最佳解决方案的一些选择是：

1. BFS - 由于简化图未加权，因此保证BFS完全（找到解决方案，如果存在）和最优（找到最短的解决方案）。
2. 启发式A* - 这也是完整且最优的 ² ，如果你有一个好的启发式功能 - 应该比一个不知情的BFS更快。

优化备注：
图形可以“动态”构建，无需将其创建为预处理。为此，您需要next:V->2^V（从节点到一组节点）功能，以便next(v) = {u | (v,u) is in E}

PS 复杂性评论：BFS解决方案是伪多项式（在最坏情况下输入数字是线性的），因为您将开发的“最高”顶点是n+1，所以解决方案基本上是O(n)最坏的情况 - 尽管我认为更深入的分析可以将其限制在更好的限制。

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（1）如果您只对+ 1 / -1感兴趣被视为操作，则可以在完成分割后根据目标创建边。
（2）如果使用admissible heuristic function。