动态规划最优解

Question

一家公司正计划为其员工举办派对。为每位员工分配一个有趣的评级。 员工被组织成一个严格的等级，即一棵根植于总统的树。有一个 但是，在聚会的客人名单上限制：一名员工和他/她的直接主管 （树中的父母）不能同时参加聚会。您希望为该派对准备一份嘉宾名单 最大化客人的有趣评级总和。表明贪婪地选择客人的乐趣 评级，不会起作用。然后，制定动态编程解决方案

我无法理解一些条件，比如总统的乐趣率高于他的后代，以及他的每个主管有多少员工。有人可以帮助我继续这个吗？

Answer 1

根据问题的措辞，分层树中分配给某人的有趣评级不一定大于层次结构树中的后代。

然而，即使是这种情况，要看到挑选最好的员工并不是最佳选择，可以考虑一个高度为2的树，其乐趣的根= 10和20个乐趣的孩子= 1。然后，最佳解决方案是跳过贪婪的选择（根）并选择20个孩子。

在任何情况下，通过动态编程，您可以找到最佳解决方案，即使父母可以比他们的后代享有更低的乐趣。对于树中的节点v，让F（v）成为以v为根的子树中可以获得的最大乐趣。然后你选择v，在这种情况下跳过子节点，你看看所有植根于子节点的子树孩子们（在这些子树上获取最大乐趣的总和，并添加到乐趣（v）），或者你跳过v然后你获得最大的乐趣是根据v的孩子们的所有子树的最大乐趣的总和。这给出了线性时间动态规划算法。

Answer 2

贪婪的例子显示了一个简单的反例。

    1
    |
 1--3--1
    |
    1

贪婪地选择，即首先选择3不会让我们选择任何其他员工。但如果我们不选择3，那么max将是4（全部为1＆＃39; s）。所以贪婪的方法不起作用。

对于动态编程，我们可以将问题表述为选择给定的子树根。如果我们选择一个节点，则不能选择任何一个节点。但是，如果我们不选择节点，我们可以选择孩子，也可以不选择孩子。

for all v initialize
  c(v,true) = fun(v)
  c(v,false)= 0

使用以下递归来解决问题

weight(v,true)  = for all children sum( weight(ci,false) ) + fun(i)
weight(v,false) = for all children sum( max(weight(ci,false), weight(ci,true)))

根节点的答案为max(weight(v,true),weight(v,false))。