Question

Sieve of Eratosthenes是一种相当快速的生成素数的方法，最高可达k，如下所示：

从集p = (2, 3, 4, ..., k)和i = 2开始。
从i^2开始，从i移除p的所有倍数。
重复i中的下一个最小p，直到i >= sqrt(k)。

我目前的实现看起来像这样（明显优化了预过滤所有偶数）：

# Compute all prime numbers less than k using the Sieve of Eratosthenes
def sieve(k):
    s = set(range(3, k, 2))
    s.add(2)

    for i in range(3, int(sqrt(k)), 2):
        if i in s:
            for j in range(i ** 2, k, i * 2):
                s.discard(j)

    return sorted(s)

编辑：以下是基于list的等效代码：

def sieve_list(k):
    s = [True] * k
    s[0] = s[1] = False
    for i in range(4, k, 2):
        s[i] = False

    for i in range(3, int(sqrt(k)) + 2, 2):
        if s[i]:            
            for j in range(i ** 2, k, i * 2):
                s[j] = False

    return [2] + [ i for i in range(3, k, 2) if s[i] ]

这有效，但并不完全正确。这些行：

for i in range(3, int(sqrt(k)), 2):
    if i in s:
        [...]

通过测试每个奇数的集合成员资格来查找s的下一个最小元素。理想情况下，实现应该是：

while i < sqrt(k):
    [...]
    i = next smallest element in s

然而，由于set是无序的，我不知道如何（或者甚至可能）以更有效的方式获得下一个最小元素。我考虑使用带有list / True标记的False作为素数，但您仍需要走list寻找下一个True元素。您不仅可以实际删除list中的元素，因为这样就无法在步骤2中有效地删除复合数字。

有没有办法更有效地找到下一个最小元素？如果没有，是否有其他数据结构允许按值删除O(1)并找到下一个最小元素的有效方法？

Answer 1

集合是无序的，因为它们在内部实现为散列集。没有有效的方法可以在这样的数据结构中找到最小元素; min(s)将是最恐怖的方式（但它是O（n））。

你可以使用collections.deque 和你的套装。使用deque按排序顺序存储元素列表。每当你需要从deque中获得最小的弹出元素，直到你找到一个在你的集合中。这在整个输入数组中分摊了O（1）成本（因为你只需要弹出n次）。

我还应该指出，可以有 no 数据结构从列表中创建O（n）（或O（1）插入），按值删除O（1）和O （1）最低限度;这样的数据结构可以用于简单地实现O（n）一般排序，这是（信息理论上）不可能的。 hashset非常接近，但必须牺牲有效的最小值。

Answer 2

您可以使用列表代替集合。对于未标记的，使用None初始化列表。您可以使用元素索引作为数字。

初始化列表
从p = 2开始
将列表中p的所有倍数标记为标记为
在列表中找到下一个未标记的元素，并将其设为新的p。如果没有，你就完成了。

如果您需要查找下一个未标记的索引，您只需查看索引p之后的元素并且等于None。

检索Python集的下一个最小元素

2 个答案: