两个数字划分的模数

Question

我们知道

(A + B) % P = (A % P + B % P) % P
(A * B) % P = (A % P * B % P) % P

其中P是素数。

我需要计算(A / B) % P，其中A,B可能非常大并且可能会溢出。

模块化算术的这种公式是否适用于(A / B) % P和(A - B) % P。

如果没有，请解释正确答案是什么。

是(A / B) % P = ((A % P) / (B % P)) % P？

是真的吗？

我正在尝试计算（N *（N ^ 2 + 5）/ 6）％P，其中N可以大到10 ^ 15

这里A = n *（n ^ 2 + 5）肯定会溢出n = 10 ^ 15

Answer 1

是的，但情况有所不同：

(a - b) mod p = ((a mod p - b mod p) + p) mod p

(a / b) mod p = ((a mod p) * (b^(-1) mod p)) mod p

其中b^(-1) mod p是b mod p的{​​{3}}。对于p = prime，b^(-1) mod p = b^(p - 2) mod p。

修改

  

（N *（N ^ 2 + 5）/ 6）％P

您不需要任何模块化反转。只需简化分数：N or N^2+5将被2和3整除。所以除以它们然后你有(a*b) mod P。

Answer 2

弗拉德的回答是正确的：

(a - b) mod p = ((a mod p - b mod p) + p) mod p
(a / b) mod p = ((a mod p) * (b^(-1) mod p)) mod p

Equivalencies 部分中的这些操作和其他一些操作outlined here。

只是想让您知道这不仅适用于素数p。第一个适用于任何p。第二个适用于任何p，其中b^(-1)或modular inverse已定义。

可以使用extended Euclidian algorithm

计算模逆

Answer 3

无论你的算法是什么，如果输入是A和B，如果它们溢出，那么你就无法启动算法。告诉我们这些数字来自何处非常重要。它们是您拥有的其他数字的总和或产物吗？

对于大数字，您必须使用特殊的数学库来存储大数字。 How to handle arbitrarily large integers 有了这样的图书馆，你可以做（​​A / B）％P。