问题

Question

我环顾四周，发现其他问题有答案，但没有一个问题涉及这个特定问题的范围。包括this question和this one。

我必须以有效的方式计算大范围数字的LCM。我对其他问题的看法并不太深入，因为它们没有处理与此算法必须处理的数字范围一样大的数字范围。

我现在获得的代码可以在大约90秒内计算1到350000之间的每个数字的最小值。（结果数字是大约76000十进制数字）。我希望最终能够在数百万甚至数十亿元素的范围内进行扩展。

它最终可能会被瘫痪。对于某些算法，这根本不会很难，对于其他算法，它会更棘手（例如，如果算法使用当前生成的LCM来计算其计算的其他部分的素数）

这是：

public static BigInteger getLCMOfRange(BigInteger lower, BigInteger upper)
{
    BigInteger M = BigInteger.ONE;
    BigInteger t;

    // long l = System.currentTimeMillis();
    // System.out.println("Calculating LCM of numbers up to " + upper + "...");
    for (; lower.compareTo(upper) != 1; lower = lower.add(BigInteger.ONE))
    {
        t = M.gcd(lower);
        if (t.compareTo(lower) == 0)
            continue;
        M = M.multiply(lower).divide(t);
    }
    // System.out.println("Done.  Took " + (System.currentTimeMillis() - l) + " milliseconds.  LCM is " + M.bitCount()+ " bits long.");
    return M;
}

请注意，与典型的for循环不同，此函数在[lower，upper]而不是[lower，upper]上运行。这种行为是故意的。

一些支持数学是一组素数的LCM是一组素数因子的乘积，从中可以产生任何一个数字，而不需要任何外部池。如果我的范围是[1,20]，我可以用以下方式表示：

1: 1         6:  3*2      11: 11       16: 2^4
2: 2         7:  7        12: 3*2^2    17: 17
3: 3         8:  2^3      13: 13       18: 3^2*2
4: 2^2       9:  3^2      14: 7*2      19: 19
5: 5         10: 5*2      15: 5*3      20: 5*2^2

LCM{[1,20]}: 2^4*3^2*5*7*11*13*17*19 = 232792560

是否有更有效的方法可以在如此大的范围内计算LCM？

我不关心有人建议的算法是否内存非常重，在这种情况下，时间性能比内存性能更重要（也更昂贵）。

这不是一个家庭作业问题。

问题

计算大范围数字的最小公倍数的最有效方法是什么？该算法需要在数量范围过大的情况下运行，因此必须仔细优化。

附录1

一个密切相关的问题是：计算一个BigInteger的对数（另一个BigInteger的基数）的最有效方法是什么？结果值可以截断为最接近的整数。

Answer 1

这是算法的布局。我假设你总是从1开始：

查找范围内的素数。你可以使用Eratosthenes筛子350000.对于更大的数字范围，你需要segmented sieve。
对于每个素数p，使用对数函数找到p ^e在该范围内的最大指数e。将p ^e乘以LCM。（优化细节取决于您的实施）

为什么这是正确的？

对于p ^e形式的数字，其中p为素数，且e> = 1，由于步骤2，已包括在LCM中，因此p ^e | LCM。
其他数字的形式为N = p ₁ ^{e ₁} p ₂ ^{e < sub> 2} ... p _n ^{e _n}（其中p _i是成对不同的素数和e _i＆gt; = 1），它大于或等于p _i ^{e _i}（对于从1到n的所有i）。由于p _i ^{e _i} | LCM，由于之前的论证，N | LCM。

Answer 2

这是对@nhahtdh

的回答的概括

第一步，找到小于或等于上限的所有素数。

然后取每个素数p，并以基数p表示法记下下限和上限。两个数字中不同的最高位数是您需要包含在LCM中的p的指数。如果下限为1，则这与其他答案非常相似。

请注意，此算法的复杂性并不取决于范围的长度，而只取决于上限的大小。

计算一系列数字的最小公倍数的最有效算法是什么？

问题

附录1

2 个答案: