长度为k的可能二进制字符串的数量

Question

最近有一位朋友被问到这个问题：

你必须计算长度为“K”的二进制字符串的数量。 约束：每个0在其左边有一个1。

Answer 1

这个问题可以改写： 如果没有两个连续的0，则有多少长度为K的二进制序列，但第一个元素应为1（否则约束失败）。让我们忘记第一个元素（我们可以做到这一点，因为它总是固定的）。 然后我们得到了一个非常着名的任务，听起来像这样：“长度为K-1且没有连续0的二进制序列的数量是多少。”可以找到解释，例如here

然后答案是F（K + 1），其中F（K）是从（1 1 2 ...）开始的第K个斐波纳契数。

Answer 2

∑ From n=0 to ⌊K/2⌋ of (K-n)Cn; n是字符串中的零数

这个想法是将每个0与1分组并找到字符串组合的数量，对于n个零，将有n个分组到它们，因此字符串变为（k-n）个元素长。只有 ^K / ₂ 零，因为没有足够的零到左边的左边。
例如。 111111[10][10]1[10]，K = 13，n = 3