KMP前缀表运行时间

Question

我写了一个代码来填充KMP的前缀表。这是algorithm的小变化。我无法说服自己这个算法/​​实现在O（n）时间内运行。我很难弄清楚第二次递归调用对总运行时间的影响。有什么帮助吗？

    public void fillFailTable(int[] failTable,String p){
        failTable[failTable.length-1] = preLength(failTable,p);
    }

    private int preLength(int[] failTable,String s){

        if(s.length() == 1){
            return 0;
        }
        int n = s.length();
        int k = preLength(failTable,s.substring(0,n-1));

        failTable[n-2] = k;

        if(s.charAt(k) == s.charAt(n-1)){
            return k+1;
        }else{
            return preLength(failTable,s.substring(n-1-k));
        }
    } 

Answer 1

这实际上非常有趣（我仍然想知道为什么没有比我聪明的人回答这个问题）。请大家用这个解释，因为我不是100％肯定这甚至接近正确（尽管我可以100％告诉你这个方法在O（n）中运行，因为那是他们告诉我的大学几年前，但他们并没有费心去解释它，呃，所以我不得不自己想出来。

好的，让我们从s.length = 2的一个非常基本的例子开始。事先要提到两件事：

• 在每个例子中只让我们担心最糟糕的情况，因为我们对Big Oh感兴趣，这意味着我们进入第二个preLength（）方法。
• 我们可以观察到，在寻找Big Oh时，此代码中的“k”（以及preLength（）返回的值）将始终为0，您将在下面的图像中注意到这些真的很重要。

s.length == 2

我们首先输入第一个preLength（）方法（让我们调用它*），现在调用s.length = 1并立即返回0.现在因为我们只考虑最坏的情况（意思是s） .charAt（k）！= s.charAt（n-1））我们输入第二个preLength（），同时还有一个长度为1的字符串（因为n = 2且k = 0）。这个也立即向我们的*返回0。这结束了我们的方法调用。总共我们有3个方法调用。我们的*和两个preLength（）。这是一张图片：

s.length == 3

现在让我们看一个带有起始s.length = 3的示例。您可以注意到我们立即使用s.length = 2调用preLength（），并且从前面的示例中我们知道这个需要3个方法调用。现在我们需要记住，当方法preLength（2）返回此时它返回到我们的本地preLength（3），它现在将再次调用preLength（2）（else中的那个），这将再次需要3个方法调用。所以我们总共需要2 * 3 + 1个方法调用。这给了我们7.再次，这是一个图像（圆圈是preLength的调用，其长度为圆圈中的字符串）：

结论

现在您可以看到所有这些方法调用都是对称的 - 这是因为我们的k 总是等于0，这意味着第二个preLengt（）将被调用与第一个字符串大小相同的字符串 - 当我们知道自s.length = m m-1以来f(m) = 2*f(m-1)+1所需的字符数时，我们可以看到f(m)需要多少字符串{} {1}}是告诉我们为大小为m的字符串计算表所需的方法调用次数的函数。这是有效的，因为正如我之前所说的方法调用是对称的（那是因为在最坏的情况下k = 0总是和preLenght（）总是返回0 ，因此2 *我们需要添加1个方法调用，我们引用的第一个。）

所以基本上随着输入的每次递增（m的大小），计算时间增加2倍加1（2 * m + 1），据我所知，这意味着这种方法在最坏的情况下是O （n）的

正如我所说的那样，请尽量采取一些措施，但我希望这是有道理的。）