发现kmp算法的预处理部分的时间复杂度
我正在研究KMP。但是我无法理解该算法的时间复杂度。有人可以解释吗？
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我们正在尝试计算通常称为PI的函数值。
首先让我们定义我们的PI函数。令S为我们的字符串。 PI（i）= x <=> x是S子串的最长后缀的长度，从S的第一个字符开始，到S的第i个字符（也是S的前缀）结束。
示例：
S：AAABACD
PI：0120100
让S（i）为长度为i的S的前缀。
假设我们已经拥有所有值PI（1），PI（2），...，PI（i-1）。计算PI（i）的时间复杂度为O（n）。 我们尝试扩展S（i-1）的最长前缀和后缀。 如果可能的话，我们就做，所以PI（i）= PI（i-1）+ 1。 如果不是，我们尝试使用最长前缀和后缀中的最长前缀和后缀（但是听起来可能很奇怪），依此类推。显然，我们尝试扩展的新子字符串的长度至少比上一个小1。 当我们到达长度为0的子字符串时，PI（i）= 0。 这就是为什么此步骤的复杂度为O（n）的原因。
因为我们计算所有1 <= i <= n的PI（i），所以复杂度是O（n ^ 2）...还是它？
让我们谈谈摊销的复杂性。
由于每次我们尝试另一个前缀和后缀时，我们都会将检查的子字符串的长度减少至少1，因此，在不超过PI（i-1）-1个步骤之后，我们肯定会停止算法。
令x为我们为所有1 <= j <= i-1尝试另一个前缀和后缀的次数。然后PI（i-1）<= i-2-x。 （如果x = 0，则对于所有1 <= j <= i-1，PI（j）= PI（j-1）+1。在进行了x次附加试验后，我们减小了PI（j）的值。对于j至少x。）
我们可以看到x
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KMP的时间复杂度为O（n）。 KMP有一个内循环和一个外循环。最长的匹配前缀变量i初始化为0，并且在外循环中最多以n为文本字符串的长度以1的步长递增。 内部循环迭代地减少i，但它在0处停止。 因此，只有当外部循环先前将其递增时，内部循环才可以减少i，最多可以发生n次。
您可以将i的值视为一种资源，该资源由外循环以1的步长产生，并由内循环以⩾1的步长消耗，直到耗尽为止。